Algèbre linéaire

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Emma1994
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Algèbre linéaire

Message par Emma1994 » 14 décembre 2018, 14:29

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Exercice
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Job
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Re: Algèbre linéaire

Message par Job » 14 décembre 2018, 17:16

Bonjour

1) On considère l'application linéaire $f$ de $Mat_2(\mathbb C)$ dans lui même définie par $f(B)=AB-BA$
L'application est bien linéaire car :
$f(\lambda B +C)=A(\lambda B +C)-(\lambda B +C)A=\lambda AB+AC-\lambda BA-CA=\lambda(AB-BA)+(AC-CA)=\lambda f(B)+f(C)$

Une matrice $B$ commute avec $A$ si $f(B)$ est la matrice nulle donc $U$ est le noyau de $f$.

2) On pose $B=\left(\begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix}\right)$
On calcule la matrice $AB-BA=\left(\begin{matrix}c+2b&2bi+d-a\\-2ci-2a+2d&-2b-c\end{matrix}\right)$

Cette matrice est la matrice nulle si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl} c&=&-2b\\ a-d&=&2bi\end{array}\right.$

On doit donc trouver des matrices linéairement indépendantes vérifiant ces conditions par exemple :

$\left(\begin{matrix}0&1\\-2&-2i\end{matrix}\right)$ et $\left(\begin{matrix}2i&1\\-2&0\end{matrix}\right)$

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