Détermination d'une loi

[Vronski de Vron]

Bonjour

Pouvez-vous m'aider .

$X$ est une variable aléatoire à valeurs dans N suivant une loi géométrique de paramètre $p$.

On définit une nouvelle variable aléatoire $Y$ par $Y(\omega)=\frac{X(\omega)}{2}$ si $X(\omega)$ est pair et $Y(\omega)=\frac{1-X(\omega)}{2}$ si $X(\omega)$ est impair.

Il s'agit de déterminer la loi de $Y$ et son espérance.

Pour la première question j'ai trouvé : $P(Y=0)=p$
Si $k>0$, $P(Y=k)=pq^{2k-1}$
Si $k<0$, $P(Y=k)=pq^{-2k}$

Est-ce juste ? Mais je n'arrive pas à calculer l'espérance.

[Job]

Bonjour

La loi de $Y$ est exacte.

$E(Y)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty} kpq^{2k-1} +\sum\limits_{k=-1}^{-\infty} kpq^{-2k}$

$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}+p\sum\limits_{k=-1}^{-\infty}k(q^2)^{-k}$

Dans la deuxième somme on fait le changement $k\to -k$

$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}-p\sum\limits_ {k=1}^{+\infty}k(q^2)^k$

$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}-pq^2\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}=(pq-pq^2)\sum\limits_{k=1}^{+\infty} k(q^2)^{k-1}$

On reconnaît dans la somme la série dérivée d'une série géométrique, ce qui donne :

$E(Y)=(pq-pq^2)\times \frac{1}{(1-q^2)^2}=\frac{p^2q}{(1-q^2)^2}$

[Vronski de Vron]

Merci, Job, pour la réponse rapide!