Bonjour
Pouvez-vous m'aider .
$X$ est une variable aléatoire à valeurs dans N suivant une loi géométrique de paramètre $p$.
On définit une nouvelle variable aléatoire $Y$ par $Y(\omega)=\frac{X(\omega)}{2}$ si $X(\omega)$ est pair et $Y(\omega)=\frac{1-X(\omega)}{2}$ si $X(\omega)$ est impair.
Il s'agit de déterminer la loi de $Y$ et son espérance.
Pour la première question j'ai trouvé : $P(Y=0)=p$
Si $k>0$, $P(Y=k)=pq^{2k-1}$
Si $k<0$, $P(Y=k)=pq^{-2k}$
Est-ce juste ? Mais je n'arrive pas à calculer l'espérance.
Détermination d'une loi
- Vronski de Vron
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Re: Détermination d'une loi
Bonjour
La loi de $Y$ est exacte.
$E(Y)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty} kpq^{2k-1} +\sum\limits_{k=-1}^{-\infty} kpq^{-2k}$
$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}+p\sum\limits_{k=-1}^{-\infty}k(q^2)^{-k}$
Dans la deuxième somme on fait le changement $k\to -k$
$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}-p\sum\limits_ {k=1}^{+\infty}k(q^2)^k$
$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}-pq^2\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}=(pq-pq^2)\sum\limits_{k=1}^{+\infty} k(q^2)^{k-1}$
On reconnaît dans la somme la série dérivée d'une série géométrique, ce qui donne :
$E(Y)=(pq-pq^2)\times \frac{1}{(1-q^2)^2}=\frac{p^2q}{(1-q^2)^2}$
La loi de $Y$ est exacte.
$E(Y)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty} kpq^{2k-1} +\sum\limits_{k=-1}^{-\infty} kpq^{-2k}$
$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}+p\sum\limits_{k=-1}^{-\infty}k(q^2)^{-k}$
Dans la deuxième somme on fait le changement $k\to -k$
$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}-p\sum\limits_ {k=1}^{+\infty}k(q^2)^k$
$E(Y)=pq\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}-pq^2\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k(q^2)^{k-1}=(pq-pq^2)\sum\limits_{k=1}^{+\infty} k(q^2)^{k-1}$
On reconnaît dans la somme la série dérivée d'une série géométrique, ce qui donne :
$E(Y)=(pq-pq^2)\times \frac{1}{(1-q^2)^2}=\frac{p^2q}{(1-q^2)^2}$
- Vronski de Vron
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Re: Détermination d'une loi
Merci, Job, pour la réponse rapide!