Ah les vaches !

[torquemada]

Bonjour à tous,
Je vous soumets ce problème car je n'arrive pas à comprendre la dernière question.
un éleveur possède un troupeau de 150 vaches qu'l veut répartir dans 2 étables A et B pouvant chacune accueillir la totalité du troupeau.
Les animaux se répartissent de façon équiprobable et indépendante dans l'une ou l'autre des étables.
Sit X la var. aléat. égale au nombre de vaches choisissant l'étable A

1) Loi de probabilité de X
ma réponse B(150;0;0.5)
2)Donner après justification une approximation de la probabilité de l' évènement , le nombre de vaches choisissant A est >= à 80

ici ma réponse est 1-0.76872=.23128
0.76872 étant la probabilité distribution cumulée de la loi binomiale B(150;0;0.5) pour la valeur 79

Or la correction sans démonstration dit :"on trouve 0.2327 en approchant la loi de X par la loi N(75;6,12). La je ne comprends pas comment on choisit les paramètres de la loi normale

3)Momentanément,pour raison de travaux,chaque étable ne comprte que N places disponibles N. Nappartient à[75,150]
a) exprimer à l'aide de X et N l'évènement E:" toutes les vaches trouvent une place"
b)Déterminer la valeur minimale de N pour que la probabilité de E soit supérieur à 1,9

Pour être honnête ,je ne comprends même pas la question puisque chaque étable à Nplaces et que N vaut à minima 75 places ,il y a en permanence 150 places libres

les réponses (sans explications) sont a) {150-N<=X<=N} et b) 85

Merci de m'avoir accordé de votre temps

[Job]

Bonjour

2) À condition que $n$ soit suffisamment grand et $p$ pas trop voisin de 0 ou 1 (c'est ici le cas), la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $np=75$ et d'écart-type $\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{150\times 0,5^2}\simeq 6,12$

3) a) Le nombre de vaches dans l'étable A doit être inférieur ou égal à $N$.
De même, le nombre de vaches dans l'étable $B$ doit être inférieur ou égal à $N$ soit $150-X\leq N$ donc $X\geq 150-N$
On a donc bien $150-N\leq X \leq N$

b) Je pense qu'on doit avoir $P(E)\geq 0,9$ (et non 1,9)
En utilisant l'approximation de la question 2 et en appelant $T$ la loi normale centrée réduite : $T=\frac{X-75}{6,12}$
$P(150-N\leq X \leq N)=P(\frac{150-N-75}{6,12} \leq T\leq \frac{N-75}{6,12})=P(\frac{75-N}{6,12}\leq T \leq \frac{N-75}{6,12})$
$P(-t\leq T\leq t)=2P(T\leq t)-1$ avec $t=\frac{N-75}{6,12}$
$2P(T\leq t)-1\geq 0,9 \Longleftrightarrow P(T\leq t)\geq 0,95$
Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite $t=1,64$
On a donc $N=1,64\times 6,12 +75 \simeq 85$.

[torquemada]

Merci pour les détails,
un lapsus clavieri m'avait fait écrire une proba >1 .C''était bien 0.9 qu'il fallait lire