Bonjour ,
Voilà un exercice où j'ai besoin d'aide .
Merci .
Probabilités
Probabilités
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Re: Probabilités
Bonsoir
1) Ce que je crois comprendre : pour tout $i$, $Z_i=2X_i-1$ donc $Z_i=-1$ avec la probabilité $\frac{1}{2}$ et $Z_i=1$ avec le probabilité $\frac{1}{2}$.
Remarque : on passe donc de $S_n$ à $S_{n+1}$ en ajoutant ou retranchant 1.
2)$S_1=Z_1=\pm 1$. Comme $S_n^*=max(S_1,\cdots S_n)$, $S_n^*\geq -1$. Par conséquent $P(S_n^*\leq -2)=0$
3) $(S_n^*\geq k;S_n<k)$ : $S_n^*$ a été obtenu pour la première fois pour $S_i$ tel que $1\leq i\leq n-1$ donc $T<n$
Réciproquement, $(T<n;S_n<k)$ : $\exists i,\ 1\leq i \leq n-1\ /\ S_i= k$ donc $S_n^*\geq k$
4) Si on considère l'événement $\{T=i\}$, comme il s'agit de la première fois où $S_i=k$, les ajouts ultérieurs de $\pm 1$ ne changent rien.
J'essaierai de poursuivre mais j'ai du mal à y voir clair.
1) Ce que je crois comprendre : pour tout $i$, $Z_i=2X_i-1$ donc $Z_i=-1$ avec la probabilité $\frac{1}{2}$ et $Z_i=1$ avec le probabilité $\frac{1}{2}$.
Remarque : on passe donc de $S_n$ à $S_{n+1}$ en ajoutant ou retranchant 1.
2)$S_1=Z_1=\pm 1$. Comme $S_n^*=max(S_1,\cdots S_n)$, $S_n^*\geq -1$. Par conséquent $P(S_n^*\leq -2)=0$
3) $(S_n^*\geq k;S_n<k)$ : $S_n^*$ a été obtenu pour la première fois pour $S_i$ tel que $1\leq i\leq n-1$ donc $T<n$
Réciproquement, $(T<n;S_n<k)$ : $\exists i,\ 1\leq i \leq n-1\ /\ S_i= k$ donc $S_n^*\geq k$
4) Si on considère l'événement $\{T=i\}$, comme il s'agit de la première fois où $S_i=k$, les ajouts ultérieurs de $\pm 1$ ne changent rien.
J'essaierai de poursuivre mais j'ai du mal à y voir clair.
Re: Probabilités
L'exercice m'échappe.
J'ai aussi un problème avec la notation. Que signifie exactement le ; dans P(T=i ; Sn>k) ? Intersection ? Probabilité conditionnelle ?
J'ai aussi un problème avec la notation. Que signifie exactement le ; dans P(T=i ; Sn>k) ? Intersection ? Probabilité conditionnelle ?
Re: Probabilités
Oui c'est l'espérance conditionnelle . Dans la correction qu'on a faite , c'était ça .
Merci encore
Merci encore