Détermination d'une loi

[Vronski de Vron]

Bonjour

Pouvez-vous m'aider pour cette question ?

X est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson. Il s'agit de montrer que X a plus de chances d'être paire que impaire.

Merci

[Job]

Bonjour

Soit $\lambda$ le paramètre.

$\forall k\in {\mathbb N}, P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Soit $A$ l'événement $X$ est pair et $B$ l'événement $X$ est impair.

$P(A)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}=e^{-\lambda} ch \lambda$

$P(B)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{2k+1}}{(2k+1)!}=e^{-\lambda} sh \lambda$

$P(A)-P(B)=e^{-\lambda} (ch \lambda -sh \lambda)=e^{-2\lambda}>0$ donc $P(A)>P(B)$

[Vronski de Vron]

Je te remercie, Job!