Bonjour,
Soit une v.a. suivant une loi hypergéométrique de paramètre N,n,p.
Comment trouver la loi de Y=n-X ?
Loi hypergéométrique
Re: Loi hypergéométrique
Bonjour
La valeur minimale que peut prendre $X$ est $max(0, n-N(1-p))$ donc la valeur maximale que peut prendre $Y$ est $min(n-0,n-[n-N(1-p)])=min(n,N(1-p)$.
La valeur maximale que peut prendre $X$ est $min(n,Np)$ donc la valeur minimale que peut prendre $Y$ est $max(n-n,n-Np)=max(0,n-Np)$
$Y(\Omega)=[max(0,n-Np) , min(n,N(1-p)]$
$P(Y=k)=P(X=n-k)=\frac{{{Np}\choose {n-k}}{{N(1-p)}\choose k}}{N\choose n}$
La valeur minimale que peut prendre $X$ est $max(0, n-N(1-p))$ donc la valeur maximale que peut prendre $Y$ est $min(n-0,n-[n-N(1-p)])=min(n,N(1-p)$.
La valeur maximale que peut prendre $X$ est $min(n,Np)$ donc la valeur minimale que peut prendre $Y$ est $max(n-n,n-Np)=max(0,n-Np)$
$Y(\Omega)=[max(0,n-Np) , min(n,N(1-p)]$
$P(Y=k)=P(X=n-k)=\frac{{{Np}\choose {n-k}}{{N(1-p)}\choose k}}{N\choose n}$
Re: Loi hypergéométrique
OK, merci!
Re: Loi hypergéométrique
Bonjour!
Je ne comprends pas bien comment le fait de donner Y(oméga) permet de trouver la loi P(Y=K) ?
En fait je ne comprends pas de façon générale comment on fait le lien entre X(oméga) et loi de P(x=k).....
Je ne comprends pas bien comment le fait de donner Y(oméga) permet de trouver la loi P(Y=K) ?
En fait je ne comprends pas de façon générale comment on fait le lien entre X(oméga) et loi de P(x=k).....
Re: Loi hypergéométrique
Bonjour
$X(\Omega)$ donne les valeurs de $k$ pour lesquelles on peut calculer $P(X=k)$.
Même chose pour $Y$
As-tu vu un contexte avec tirage de boules pour concrétiser le loi hypergéométrique ?
La loi de $X$ ne se déduit pas directement de $X(\Omega)$.Jon83 a écrit : Je ne comprends pas bien comment le fait de donner Y(oméga) permet de trouver la loi P(Y=K) ?
En fait je ne comprends pas de façon générale comment on fait le lien entre X(oméga) et loi de P(x=k).....
$X(\Omega)$ donne les valeurs de $k$ pour lesquelles on peut calculer $P(X=k)$.
Même chose pour $Y$
As-tu vu un contexte avec tirage de boules pour concrétiser le loi hypergéométrique ?
Re: Loi hypergéométrique
Bonjour!
Oui: on a une urne contenant N_1 boules blanches et N_2 boules noires avec N=N_1+N_2. on pose p=N_1/N la proportion de boules blanches. Lors du tirage sans remise d'un échantillon de n boules, P(X=k) donne le nombre de boules blanches dans l'échantillon...
C'est OK?
En regardant la formule de P(X)=k , ce que j'ai compris:
a) la 1ère combinatoire (N_1,k) impose à k la relation 0<=k<N_1
b) la 2ème combinatoire (N_2,n-k) impose la relation 0<=n-k<=n d'où n-N_2<=k<=n
Oui: on a une urne contenant N_1 boules blanches et N_2 boules noires avec N=N_1+N_2. on pose p=N_1/N la proportion de boules blanches. Lors du tirage sans remise d'un échantillon de n boules, P(X=k) donne le nombre de boules blanches dans l'échantillon...
C'est OK?
En regardant la formule de P(X)=k , ce que j'ai compris:
a) la 1ère combinatoire (N_1,k) impose à k la relation 0<=k<N_1
b) la 2ème combinatoire (N_2,n-k) impose la relation 0<=n-k<=n d'où n-N_2<=k<=n
Re: Loi hypergéométrique
Pour les conditions, nous avons bien écrit les même choses sous des formes différentes.
La première condition que tu as écrite : $0\leq k \leq N_1$ équivaut à $0\leq k\leq Np$
La seconde condition que tu as écrite : $n-N_2\leq k \leq n$ équivaut à $n-(N-N_1)\leq k \leq n$ soit $n-N(1-p)\leq k\leq n$
Comme les 2 conditions sont nécessaires, la valeur minimale de $k$ est donc le maximum de $(0,n-N_2)$ et la valeur maximale de $k$, le minimum de $(n,N_1)$
Justification des conditions.
* Si il y a au moins $n$ boules noires soit $n\leq N_2=N(1-p)$, $X$ peut prendre la valeur 0.
Si le nombre de boules noires est strictement inférieur à $n$ le nombre de boules blanches minimal qu'on peut obtenir est $n-N_2=n-N(1-p)$
Comme on ignore la relation entre $n$ et $N_2$, le nombre minimal de boules blanches qu'on peut obtenir est donc le maximum de $(0,n-N_2)$
* Si le nombre $N_1$ de boules blanches est supérieur ou égal à $n$ alors, on peut obtenir au maximum $n$ boules blanches.
Dans le cas contraire, on peut obtenir au maximum $N_1$ boules blanches
La valeur maximale de $X$ est donc le minimum de $(n,N_1)$
La première condition que tu as écrite : $0\leq k \leq N_1$ équivaut à $0\leq k\leq Np$
La seconde condition que tu as écrite : $n-N_2\leq k \leq n$ équivaut à $n-(N-N_1)\leq k \leq n$ soit $n-N(1-p)\leq k\leq n$
Comme les 2 conditions sont nécessaires, la valeur minimale de $k$ est donc le maximum de $(0,n-N_2)$ et la valeur maximale de $k$, le minimum de $(n,N_1)$
Justification des conditions.
* Si il y a au moins $n$ boules noires soit $n\leq N_2=N(1-p)$, $X$ peut prendre la valeur 0.
Si le nombre de boules noires est strictement inférieur à $n$ le nombre de boules blanches minimal qu'on peut obtenir est $n-N_2=n-N(1-p)$
Comme on ignore la relation entre $n$ et $N_2$, le nombre minimal de boules blanches qu'on peut obtenir est donc le maximum de $(0,n-N_2)$
* Si le nombre $N_1$ de boules blanches est supérieur ou égal à $n$ alors, on peut obtenir au maximum $n$ boules blanches.
Dans le cas contraire, on peut obtenir au maximum $N_1$ boules blanches
La valeur maximale de $X$ est donc le minimum de $(n,N_1)$