Vendre par petites annonces

[Jon83]

Bonjour!
J'ai commencé un nouveau pb de proba; l'énoncé préparatoire est un peu long...
Voici ce que j'ai fait jusqu'en 2ci) car après je suis bloqué...

Présentation
On met en vente un objet dans les petites annonces d'un journal. On reçoit chaque jour une nouvelle offre (et une seule) que l'on peut accepter ou refuser. Cette décision est définitive: en cas de refus on ne pourra plus accepter cette offre dans les jours qui suivent. En cas d'acceptation, on gagne le montant de l'offre et la parution s'arrête.
Le nombre d'offres est à priori illimitée, mais le journal à un coût c>0 pour chaque jour de parution. Quand doit-on accepter l'offre proposée?
Afin de minimiser les coûts de parution, et faire le bénéfice maximal, il faut maximiser le gain=vente-coûts parution
Mise en place: on fait les hypothèses suivantes:
* pour k appartenant à N*, on note X_k l'offre du k-ième jour. Les variables aléatoires X_k sont indépendantes et suivent la même
loi qu'une variable aléatoire X
* X est à valeurs dans R+ , et admet une densité notée f, que l'on suppose continue et strictement positive sur ]0,+infiny[ . On note
F la fonction de répatition de X
* X admet une espérance notée m

On appelle N le numéro de l'offre acceptée, c'est une variable aléatoire à valeurs dans N*, et G le gain final que l'on tire de la vente. On a ainsi G=X_N-N*c

Stratégie: on se donne une valeur de s appartenant à R+, et on choisit d'accepter la première offre supérieure ou
égale à s. On cherche une valeur de s qui maximalise le gain moyen E(G).
1) Montrer que F(s) appartient à [0,1[
Par définition de F : pour tout s appartenant à [0,+infiny[ F(s) appartient [0,1[
2) Calcul de l'espérance de G
2a) Justifier que N suit une loi géométrique dont on exprimera le paramètre en fonction de F(s);
Donner l'espérance de N
L'événement "on accepte l'offre n° N"=(X_1<s)U(X_2<s)U...U(X_(N-1)<s)U(X_N>=s)
Par indépendance des X_K : P(X_N>=N)=P(X_1<s)*P(X_2<s)*...*P(X_(N-1)<s)*P(X_N>=s)
Si on note p la probabilité d'accepter une offre = F(s) et q=1-p=1-F(s) la probabilité de refuser une offre
on a donc P(X_N>=N)=q*q*...*q*p=q^(N-1)p=F(s)[1-F(s)]^(N-1)
Donc N suit une loi géométrique de paramètre p=F(s)
D'après le cours E(N)=1/p=1/F(s)
2b) Justifier : P(X_N<s)=0
Si l'offre N est acceptée, (X_N>=s) est vrai --> P(X_N>=s)=1 et P(X_N<s)=1-P(X_N>=s)=0
2c) Soit x>=s
2ci) Justifier: pour tout n appartenant à N* (X_N>x)inter(N=n)=(X_n>x)inter[inter de k=1 à n-1 de (X_k<s)]
(N=n)=(X_1<s)inter(X_2<s)inter...inter(X_n-1<s)inter(X_n>=s) = Inter de k=1 à n-1 de(X_k<s)
d'où l'expression (X_N>x)inter(N=n)=(X_n>x)inter[inter de k=1 à n-1 de (X_k<s)]
Ensuite, je bloque....
2cii) En déduire : P(X_N<=x)=(F(x)-F(s))/(1-F(s))
2d) Déterminer une densité de X_N
2e) Montrer que X_N admet une espérance
2f) Montrer que G admet une espérance E(G)=[1/(1-F(s))]*(Intégrale de s à +infiny de [(x*f(x)dx]-c)
..........

[Job]

Bonjour

2. a) Tu as fait une erreur d'étourderie. Je suis d'accord avec $P(N=n)=P(X_1<s)\times \cdots \times P(X_{n-1}<s)\times P(X_n)\geq s)$
Ce qui donne $P(N=n)=(F(s))^{n-1} \times (1-F(s))$
C'est donc une loi géométrique de paramètre $1-F(s)$ et $E(N)=\frac{1}{1-F(s)}$

2. c_{ii}) De l'égalité $(X_N>x)\cap (N=n)=(X_n>x)\cap (\cap_{k=1}^{n-1}(X_k<s)$ on déduit :
$P(X_N>x)\times P(N=n)=P(X_n>x)\times \prod_{k=1}^{n-1} P(X_k<s)$ soit :
$P(X_N>x)\times (F(s))^{n-1}\times (1-F(s))=(1-F(x))\times (F(s))^{n-1}$ soit $P(X_N>x)(1-F(s))=1-F(x)$
$P(X_N>x)=\frac{1-F(x)}{1-F(s)}$
$P(X_N)\leq x)=1-\frac{1-F(x)}{1-F(s)}=\frac{F(x)-F(s)}{1-F(s)}$

2. d) La densité est la fonction dérivée de la fonction de répartition et $F(s)$ est fixé donc la densité de $X_N$ est $\frac{f(x)}{1-F(s)}$

2. e) $\int_s^{+\infty} x\frac{f(x)}{1-F(s)} dx =\frac{1}{1-F(s)}\int_s^{+\infty} xf(x) dx$ est majorée par $E(X)$ donc converge.

2. f) L'espérance est linéaire donc $E(G)=E(X_N)-cE(N)$
$E(G)=\frac{1}{1-F(s)}\int_s^{+\infty} xf(x) dx-c\times \frac{1}{1-F(s)}=\frac{1}{1-F(s)}(\int_s^{+\infty} xf(x) dx-c)$

[Jon83]

Bonjour!
Merci pour ta réponse rapide!
De mon coté, j'ai quelques difficultés de compréhension....
Pour la 2a) j'ai peut être mal compris ce que l'on cherche: c'est P(N=n) ou P(N>=n) et ce ne doit pas être la même chose?
Par ailleurs, par définition F(s)=P(X_k<=s) mais est-ce égal à P(X_k<s) ?

[Job]

Bonjour!
Merci pour ta réponse rapide!
De mon coté, j'ai quelques difficultés de compréhension....
Pour la 2a) j'ai peut être mal compris ce que l'on cherche: c'est P(N=n) ou P(N>=n) et ce ne doit pas être la même chose?
Par ailleurs, par définition F(s)=P(X_k<=s) mais est-ce égal à P(X_k<s) ?

J'ai eu aussi un peu de mal à m'y retrouver dans les différentes notations.
$N$ est une variable aléatoire discrète donc on cherche $P(N=n)$
Les $X_k$ sont des variables aléatoires continues donc $P(X_k\leq s)=P(X_k<s)$ (si on se place dans le problème concret, ce n'est pas évident)

[Jon83]

Je suis d'accord: ce n'est pas évident...mais bon admettons!
Pour le 2ci) en recopiant je me suis aperçu que mon calcul de (N=n) est incohérent: j'ai un dernier terme (X_n=s) que je ne retrouve pas dans l'intersection qui va de k=1 à n-1 ??? Et pourquoi le (X_N>x) du 1er membre se transforme en (X_n>x) dans le 2ème membre?

[Job]

Ce que je pense avoir compris.
$(X_N>x)\cap (N=n)=(X_N>x)\cap (X_n\geq s) \cap (\bigcap_{k=1}^{n-1} (X_k<s))$

$(X_N<x)$ est l'événement "l'offre acceptée est >x" et $(X_n\geq s)$ est l'événement "l'offre de rang $n$ est ≥s"
L'intersection des 2 signifie donc que l'offre acceptée est celle de rang n et qu'elle est supérieure à $x$, c'est donc $(X_n>x)$

Est-ce un problème de concours ? As-tu les références ?

[Jon83]

Oui, j'ai trouvé sur le net que ce problème correspondait avec le problème n°3 du concours ESSEC EIII (option économique) de 2009
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q= ... 6481,d.d24
Mais je n'ai pas trouvé de corrigé...

[Jon83]

Bonjour!
Merci pour vos explications du 2ci) : je pense avoir compris, mais c'est assez sioux....
J'ai essayé de continuer:
3) Optimisation
On pose g(s)=E(G)
3a) Montrer que lim(g(s)) qt s -->+inf = -inf et interpréter ce résultat
lim(g(s))=lim(E(G))=lim[(1/(1-F(s))*(Intégrale de s à +inf de xf(x)dx)-c]
or qd s -->+inf Intégrale de s à +inf de xf(x)dx)-c=0-c=-c et lim(1/(1-F(s))=+inf
Finalement lim(g(s))=-infiny qd s-->+inf
Interprétation ???
3b) Que vaut g(0)? Interpréter la valeur trouvée
g(0)=1/(1-F(0))*Intégrale de 0 à +inf de xf(x)dx-c= (E(x)-c)/(1-F(0))=m-c
3c) Montrer que si c>=m, alors g(s)<=0 pour toute valeur de s
g(0)=m-c<=0 si m>c...
On suppose dans toute la suite que c<m
3d) Montrer que g est dérivable sur ]0,+inf[ et que g'(s) est de même signe que h(s) avec
h(s)=s.F(s)-c-s+Intégrale de s à +inf de x.f(x)dx
3e) Montrer que h est une fonction strictement décroissante sur ]0,+inf[
3f) Montrer que h(s) est négatif pour s suffisamment grand
3g) En déduire qu'il existe un unique réel sigma>0 tel que h(sigma)=0
3h) Montrer que g présente un maximum en sigma

[Job]

3. a) D'accord.
Interprétation : Quand le prix fixé tend vers + l'infini, le gain tend vers - l'infini, c'est-à-dire si le prix fixé est trop élevé alors, alors le nombre de jours où l'objet reste en vente est très grand donc le coût très élevé et les pertes pour le vendeur très importantes.

3. b) Le gain est nul lorsque le prix fixé est égal au coût.

3. c) $\int_s^{+\infty} x f(x) dx \leq \int_0^{+\infty} xf(x)dx =m$ donc $g(s) \leq \frac{m-c}{1-F(s)}$
Donc si $c\geq m$ alors $g(s)\leq 0$

3. d) $g$ est le produit de 2 fonctions dérivables donc $g$ est dérivable.
$g'(s)=\frac{f(s)}{(1-F(s))^2} (\int_s^{+\infty} xf(x)dx -c) +\frac{1}{1-F(s)} (-sf(s))$
$g'(s)=\frac{f(s)}{(1-F(s))^2}[\int_s^{+\infty} xf(x)dx -c+\frac{1-F(s)}{f(s)}(-sf(s))]$
$g'(s) = \frac{f(s)}{(1-F(s))^2}(\int_s^{+\infty} xf(x)dx -c -s +sF(s))$
Par hypothèse, $f$ est positive donc $g'(x)$ a le signe de $h(s)=sF(s)-c-s+\int_s^{+\infty} xf(x)dx$

3. e) $h'(s)=F(s)+sf(s)-1-sf(s)=F(s)-1<0$ donc $h$ strictement décroissante sur $[0, +\infty[$

3. f) $\lim_{s\to +\infty} \int_s^{+\infty} xf(x)dx=0$ et $\lim_{s\to +\infty} s(F(s)-1)=-\infty$ donc $\lim_{s\to +\infty} h(s) =-\infty$
Par conséquent $h(s)<0$ pour $s$ suffisamment grand.

3. g) $h(0)=-c+m>0$
$h$ continue, strictement décroissante sur $]0, +\infty[$, $h(0)>0$ et $\lim_{s\to +\infty} h(s)=-\infty$ donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\sigma>0$ tel que $h(\sigma) =0$

3. h) De la décroissance de $h$ et de $h(\sigma) =0$ on déduit que sur $]0, \sigma[,\ h(s)>0$ et sur $]\sigma, +\infty[,\ h(s)<0$
Comme $g'(s)$ a le signe de $h(s)$, $g$ est donc croissante sur $]0, \sigma]$ et décroissante sur $[\sigma , +\infty[$, elle admet un maximum en $\sigma$
$h(\sigma) =0 \Longleftrightarrow \int_{\sigma}^{+\infty} xf(x)dx=-\sigma F(\sigma) +c+\sigma$
On a alors $g(\sigma) =\frac{1}{1-F(\sigma)}(-\sigma F(\sigma)+c+\sigma -c)=\frac{\sigma(1-F(\sigma))}{1-F(\sigma)}=\sigma$

[Jon83]

Bonjour!
Merci pour ces explications parfaitement claires et détaillées: j'ai tout compris!!!....
J'essaye de traiter la question 4) qui est une application à la loi exponentielle.
Bonne journée, à bientôt!