Bonjour!
La durée de vie d'un composant électronique est une variable aléatoire X de densité f.
On suppose que f est nulle sur [-infiny, 0] et strictement positive et continue sur ]0,+infiny[
On note F la fonction de répartition
Partie I: fonction de survie
On appelle fonction de survie de X la fonction S: R+ --> [0,1] telle que x --> P(X=x)
1) Exprimer S(x) en fonction de F et S(x) en fonction de f :
F(x)=P(X<=1)=1-P(X>1)=1-S(x) donc S(x)=1-F(x)
f(x)=F'(x)=-S'(x) donc S'(x)=-f(x)
2) Dresser le tableau de variation de S sur R+ en précisant les limites; on remarquera en particulier que S ne s'annule pas sur R+
OK, pas de pb....
3) On suppose dans cette question que X admet une espérance notée E(X)
3a) Montrer que pour tout x >=0 l'inégalité xS(x) <= Intégrale de x à +infiny[t.f(t)dt]
Par définition ,on sait que E(x)=Intégrale de 0 à +infiny[t.f(t)dt] existe , mais je ne trouve pas la minoration ...
Merci d'avance pour votre aide!
Durée de vie d'un composant
Re: Durée de vie d'un composant
Bonjour
Je crois qu'il y a une erreur de recopiage du texte :
$x$ étant fixé $xS(x)=xP(X>x)=x\int_x^{+\infty} f(t) dt=\int_x^{+\infty} xf(t) dt$
$\int_x^{+\infty} t f(t) dt -\int_x^{+\infty} x f(t) dt =\int_x^{+\infty}(t-x) f(t) dt$
$f$ est positive et sur $[x,+\infty[,\ t-x\geq 0$ donc $\int_x^{+\infty} (t-x)f(t)dt\geq 0$ d'où $xS(x)\leq \int_x^{+\infty} tf(t) dt$
Je crois qu'il y a une erreur de recopiage du texte :
et qu'il s'agit de $S(x)=P(X>x)$Jon83 a écrit :
On appelle fonction de survie de X la fonction S: R+ --> [0,1] telle que x --> P(X=x)
$x$ étant fixé $xS(x)=xP(X>x)=x\int_x^{+\infty} f(t) dt=\int_x^{+\infty} xf(t) dt$
$\int_x^{+\infty} t f(t) dt -\int_x^{+\infty} x f(t) dt =\int_x^{+\infty}(t-x) f(t) dt$
$f$ est positive et sur $[x,+\infty[,\ t-x\geq 0$ donc $\int_x^{+\infty} (t-x)f(t)dt\geq 0$ d'où $xS(x)\leq \int_x^{+\infty} tf(t) dt$
Re: Durée de vie d'un composant
Bonjour!
En effet, il y avait une erreur de transcription....Désolé
Merci pour ta réponse....Avec le résultat, ça paraît toujours très simple, mais encore fallait-il penser à faire la différence!!!
3b) En déduire la limite du produit x.S(x) lorsque x --> +infiny.
L'intégrale de x à infiny[t.f(t)] tend vers 0, donc le produit x.S(x) tend vers 0 ???
3c) Montrer que l'intégrale de 0 à +infiny [S(t)dt] converge et que l'on a la relation : intégrale de 0 à +infiny [S(t)dt] = E(X)
S(x)=1-F(x) donc l'intégrale de 0 à +infiny [S(t)dt] = l'intégrale de 0 à +infiny [(1-F(t))dt] existe.
Faisons le changement de variable u=S(t) et dv=dt ce qui donne du=S'(t)dt et v=t ; les deux fonctions u et v étant de classe C^1
sur R+, on peut faire une IPP:
Intégrale de 0 à +infiny[S(t)dt]=[t.S(t)] entre 0 et +infiny - Intégrale de 0 à +infiny[S'(t)dt] = 0 +Intégrale de 0 à +infiny[t.f(t)dt]
= E(x)
En effet, il y avait une erreur de transcription....Désolé
Merci pour ta réponse....Avec le résultat, ça paraît toujours très simple, mais encore fallait-il penser à faire la différence!!!
3b) En déduire la limite du produit x.S(x) lorsque x --> +infiny.
L'intégrale de x à infiny[t.f(t)] tend vers 0, donc le produit x.S(x) tend vers 0 ???
3c) Montrer que l'intégrale de 0 à +infiny [S(t)dt] converge et que l'on a la relation : intégrale de 0 à +infiny [S(t)dt] = E(X)
S(x)=1-F(x) donc l'intégrale de 0 à +infiny [S(t)dt] = l'intégrale de 0 à +infiny [(1-F(t))dt] existe.
Faisons le changement de variable u=S(t) et dv=dt ce qui donne du=S'(t)dt et v=t ; les deux fonctions u et v étant de classe C^1
sur R+, on peut faire une IPP:
Intégrale de 0 à +infiny[S(t)dt]=[t.S(t)] entre 0 et +infiny - Intégrale de 0 à +infiny[S'(t)dt] = 0 +Intégrale de 0 à +infiny[t.f(t)dt]
= E(x)
Re: Durée de vie d'un composant
3. b) Pour justifier que $\int_x^{+\infty} tf(t) dt$ a pour limite 0 : c'est le reste d'une intégrale convergente.
3. c) Ta justification de la convergence de l'intégrale n'est pas très convaincante.
Par une intégration par parties :
$\int_0^x t f(t) dt =-\int_0^x tS'(t) dt =-xS(x) +\int_0^x S(t) dt$
Ce qui prouve que $\int_0^x S(t) dt $ est majorée par une intégrale convergente lorsque $x$ tend vers l'infini donc converge.
De plus $\lim_{x\to +\infty} xS(x)=0$ donc $\int_0^{+\infty} S(t) dt =E(X)$
3. c) Ta justification de la convergence de l'intégrale n'est pas très convaincante.
Par une intégration par parties :
$\int_0^x t f(t) dt =-\int_0^x tS'(t) dt =-xS(x) +\int_0^x S(t) dt$
Ce qui prouve que $\int_0^x S(t) dt $ est majorée par une intégrale convergente lorsque $x$ tend vers l'infini donc converge.
De plus $\lim_{x\to +\infty} xS(x)=0$ donc $\int_0^{+\infty} S(t) dt =E(X)$
Re: Durée de vie d'un composant
Oui, je me doutais que ma démonstration en 3c) était bancale et pas du tout rigoureuse....Merci pour tes réponses.
Pour la suite, j'ai traité les trois 1ère question, mais je bloque à partir de la 4...Pour la bonne compréhension de l'énoncé, je recopie l'intégralité de l'énoncé:
Partie II : taux de panne
1) Pour tout x et h strictement positifs, on note p(t,h) la probabilité conditionnelle p(t,h)=P(X<=t+h / X>t)
1a) Exprimer p(t,h) en fonction de F(t+h) et de F(t)
p(t,h)=P(X appartient [0,t+h] / X appartient ]t,+infiny[)=P(t<X<=t+h)=F(t+h)-F(t)
1b) En déduire : limite qd h --> 0+[(1/h)p(t,h)]=f(t)/S(t) OK
On appelle taux de panne de X la fonction définie sur R+ par phi: t --> f(t)/S(t)
2) des exemples
2a) On suppose dans cette question que X suit une loi exponentielle, montrer que phi est une fonction constante ;
OK
2b Soit alpha et béta deux réels strictement positifs. Déterminer la constante K pour que la fonction f telle que f(x)=0 si x<0
et f(x)=K/(1+béta*x)^(alpha+1) soit une densité de probabilité d'une variable aléatoire X
OK: K=alpha*béta
Calculer alors la taux de panne associé OK : phi(x)=alpa*béta/(1+béta*x)
3) Montrer que pour x>=0 on peut définir PHI(x) = Intégrale de 0 à x de [phi(t)dt] et établir S(x)=e^(-PHI(x))
S(x) ne s'annulant pas sur R+, la fonction phi(x)=f(x)/S(x) est définie et continue sur R+ et il existe une primitive sur R+ qui
s'annule en 0. Dons PHI(x) = Intégrale de 0 à x de [phi(t)dt] existe ;
On a vu en partie I que f(x)=-S'(x) donc PHI(x) = Intégrale de 0 à x de [-S'(x)/S(x)dt] ==> PHI(x)=-ln(S(x)) et
S(x)=e^(-PHI(x))
4) On suppose dans cette question seulement que phi(x) est une fonction croissante.
4a) Montrer que pour tout (x,y) de (R+)² : PHI(x+y) >= PHI(x)+PHI(y)
Je sais que PHI(x+y)=-ln(S(x+y)) mais ensuite je bloque....
Pour la suite, j'ai traité les trois 1ère question, mais je bloque à partir de la 4...Pour la bonne compréhension de l'énoncé, je recopie l'intégralité de l'énoncé:
Partie II : taux de panne
1) Pour tout x et h strictement positifs, on note p(t,h) la probabilité conditionnelle p(t,h)=P(X<=t+h / X>t)
1a) Exprimer p(t,h) en fonction de F(t+h) et de F(t)
p(t,h)=P(X appartient [0,t+h] / X appartient ]t,+infiny[)=P(t<X<=t+h)=F(t+h)-F(t)
1b) En déduire : limite qd h --> 0+[(1/h)p(t,h)]=f(t)/S(t) OK
On appelle taux de panne de X la fonction définie sur R+ par phi: t --> f(t)/S(t)
2) des exemples
2a) On suppose dans cette question que X suit une loi exponentielle, montrer que phi est une fonction constante ;
OK
2b Soit alpha et béta deux réels strictement positifs. Déterminer la constante K pour que la fonction f telle que f(x)=0 si x<0
et f(x)=K/(1+béta*x)^(alpha+1) soit une densité de probabilité d'une variable aléatoire X
OK: K=alpha*béta
Calculer alors la taux de panne associé OK : phi(x)=alpa*béta/(1+béta*x)
3) Montrer que pour x>=0 on peut définir PHI(x) = Intégrale de 0 à x de [phi(t)dt] et établir S(x)=e^(-PHI(x))
S(x) ne s'annulant pas sur R+, la fonction phi(x)=f(x)/S(x) est définie et continue sur R+ et il existe une primitive sur R+ qui
s'annule en 0. Dons PHI(x) = Intégrale de 0 à x de [phi(t)dt] existe ;
On a vu en partie I que f(x)=-S'(x) donc PHI(x) = Intégrale de 0 à x de [-S'(x)/S(x)dt] ==> PHI(x)=-ln(S(x)) et
S(x)=e^(-PHI(x))
4) On suppose dans cette question seulement que phi(x) est une fonction croissante.
4a) Montrer que pour tout (x,y) de (R+)² : PHI(x+y) >= PHI(x)+PHI(y)
Je sais que PHI(x+y)=-ln(S(x+y)) mais ensuite je bloque....
Re: Durée de vie d'un composant
C'est bien de me donner les questions précédentes, cela me permet de bien être dans le problème
1) Je ne suis pas d'accord à moins que tu aies fait une erreur en recopiant.
a) $P_{X>t}(X\leq t+h)=\frac{P(t<X\leq t+h)}{P(X>t)}=\frac{F(t+h)-F(t)}{1-F(t)}$
b) $\lim_{h\to 0}p(t+h)=\lim_{h\to 0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}\times \frac{1}{1-F(t)}=F'(t)\times \frac{1}{S(t)}=\frac{f(t)}{S(t)}$
4)
$\phi(x+y)=\int_0^{x+y}\varphi(t) dt =\int_0^x \varphi (t) dt +\int_x^{x+y} \varphi (t) dt$
Pour la seconde intégrale on fait un changement de variable avec $u=t-x$
$\int_x^{x+y} \varphi (t) dt=\int_0^y \varphi (u+x) du$
$\int_0^y \varphi (u+x) du - \int_0^y\varphi (u) du =\int_0^y (\varphi(u+x)-\varphi (u)) du$
Par hypothèse $\varphi$ est une fonction croissante donc $\varphi (u+x)-\varphi (u) \geq 0$
On en déduit que $\int_0^y \varphi (u+x) du\geq \int_0^y \varphi (u) du =\phi(y)$ d'où $\phi (x+y) \geq \phi (x) +\phi (y)$
(j'ai eu du mal à exploiter la croissance de $\varphi$)
1) Je ne suis pas d'accord à moins que tu aies fait une erreur en recopiant.
a) $P_{X>t}(X\leq t+h)=\frac{P(t<X\leq t+h)}{P(X>t)}=\frac{F(t+h)-F(t)}{1-F(t)}$
b) $\lim_{h\to 0}p(t+h)=\lim_{h\to 0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}\times \frac{1}{1-F(t)}=F'(t)\times \frac{1}{S(t)}=\frac{f(t)}{S(t)}$
4)
$\phi(x+y)=\int_0^{x+y}\varphi(t) dt =\int_0^x \varphi (t) dt +\int_x^{x+y} \varphi (t) dt$
Pour la seconde intégrale on fait un changement de variable avec $u=t-x$
$\int_x^{x+y} \varphi (t) dt=\int_0^y \varphi (u+x) du$
$\int_0^y \varphi (u+x) du - \int_0^y\varphi (u) du =\int_0^y (\varphi(u+x)-\varphi (u)) du$
Par hypothèse $\varphi$ est une fonction croissante donc $\varphi (u+x)-\varphi (u) \geq 0$
On en déduit que $\int_0^y \varphi (u+x) du\geq \int_0^y \varphi (u) du =\phi(y)$ d'où $\phi (x+y) \geq \phi (x) +\phi (y)$
(j'ai eu du mal à exploiter la croissance de $\varphi$)
Re: Durée de vie d'un composant
Là, franchement, je n'aurais pas trouvé.....
4b) En déduire pour tout (x,y) de (R+)² l'inégalité P(X>=x+y / X>=x) <= P(X>=y).
Il doit y avoir une liaison avec la question précédente, mais je ne vois pas la relation entre PHI et les proba ?...
4b) En déduire pour tout (x,y) de (R+)² l'inégalité P(X>=x+y / X>=x) <= P(X>=y).
Il doit y avoir une liaison avec la question précédente, mais je ne vois pas la relation entre PHI et les proba ?...
Re: Durée de vie d'un composant
4. b)
$(X\geq x+y)\subset (X\geq x)$ donc $P(X\geq x+y/X\geq x)=\frac{P(X\geq x+y)}{P(X\geq x)}=\frac{S(x+y)}{S(x)}$
$-\phi (x+y) \leq -\phi (x) -\phi (y)$
La fonction exponentielle étant croissante, $e^{-\phi (x+y)}\leq e^{-\phi (x) -\phi (y)}=e^{-\phi (x)} \times e^{-\phi (y)}$
Soit $S(x+y)\leq S(x) \times S(y)$ donc $\frac{S(x+y)}{S(x)} \leq S(y)=P(X\geq y)$
Soit encore $P(X\geq x+y/X\geq x)\leq P(X\geq y)$
$(X\geq x+y)\subset (X\geq x)$ donc $P(X\geq x+y/X\geq x)=\frac{P(X\geq x+y)}{P(X\geq x)}=\frac{S(x+y)}{S(x)}$
$-\phi (x+y) \leq -\phi (x) -\phi (y)$
La fonction exponentielle étant croissante, $e^{-\phi (x+y)}\leq e^{-\phi (x) -\phi (y)}=e^{-\phi (x)} \times e^{-\phi (y)}$
Soit $S(x+y)\leq S(x) \times S(y)$ donc $\frac{S(x+y)}{S(x)} \leq S(y)=P(X\geq y)$
Soit encore $P(X\geq x+y/X\geq x)\leq P(X\geq y)$
Re: Durée de vie d'un composant
Bravo....mais là non plus, je n'aurais pas trouvé tout seul!
NB: il est précisé dans l'énoncé que dans ce cas on dit que X est une variable à vieillissement ...
Pour le fun, je te donne la dernière question:
5) On définit la variable aléatoire Y par Y=PHI(X)
5a) Établir pour tout y>=0 : P(Y<=y) = P[F(X)<=1-e^y]
5b) Montrer que F réalise une bijection de R+ dans un intervalle à préciser
5c) Déterminer la loi de Y
NB: il est précisé dans l'énoncé que dans ce cas on dit que X est une variable à vieillissement ...
Pour le fun, je te donne la dernière question:
5) On définit la variable aléatoire Y par Y=PHI(X)
5a) Établir pour tout y>=0 : P(Y<=y) = P[F(X)<=1-e^y]
5b) Montrer que F réalise une bijection de R+ dans un intervalle à préciser
5c) Déterminer la loi de Y
Re: Durée de vie d'un composant
Je regarderai demain.