Pas de problème...
Merci et bonne soirée!
Durée de vie d'un composant
Re: Durée de vie d'un composant
5. a)
$\phi(x)\leq y \Longleftrightarrow -\phi (x) \geq -y \Longleftrightarrow S(x)\geq e^{-y} \Longleftrightarrow F(x)\leq 1-e^{-y}$
Donc $P(Y\leq y)=P(F(X)\leq 1-e^{-y}$
5. b (Je pense qu'il faut remplacer $F$ par $\phi$
$f$ étant continue, strictement positive, $F$ établit une bijection de $[0, +\infty[$ sur [0 , 1[ et $S=1-F$ établit une bijection de $[0 , +\infty[$ sur ]0 , 1]
$S=\exp \circ (-\phi) \Longleftrightarrow \phi=-\ln \circ S$ composée de bijections décroissantes. Donc $\phi$ établit une bijection croissante de $[0 , +\infty[$ sur $[0 , +\infty[$
5. c) Puisque $\phi$ est bijective,
$P(Y>y)=P(\phi (X)>y) =P(X>\phi^{-1} (y)) =S(\phi^{-1}(y)) =\exp (-\phi(\phi^{-1}))(y)=e^{-y}$
$P(y\leq y) =1-e^{-y}$
$\phi(x)\leq y \Longleftrightarrow -\phi (x) \geq -y \Longleftrightarrow S(x)\geq e^{-y} \Longleftrightarrow F(x)\leq 1-e^{-y}$
Donc $P(Y\leq y)=P(F(X)\leq 1-e^{-y}$
5. b (Je pense qu'il faut remplacer $F$ par $\phi$
$f$ étant continue, strictement positive, $F$ établit une bijection de $[0, +\infty[$ sur [0 , 1[ et $S=1-F$ établit une bijection de $[0 , +\infty[$ sur ]0 , 1]
$S=\exp \circ (-\phi) \Longleftrightarrow \phi=-\ln \circ S$ composée de bijections décroissantes. Donc $\phi$ établit une bijection croissante de $[0 , +\infty[$ sur $[0 , +\infty[$
5. c) Puisque $\phi$ est bijective,
$P(Y>y)=P(\phi (X)>y) =P(X>\phi^{-1} (y)) =S(\phi^{-1}(y)) =\exp (-\phi(\phi^{-1}))(y)=e^{-y}$
$P(y\leq y) =1-e^{-y}$