Modélisation d'un procédé de greffes de Rosiers

[Job]

La somme est une somme finie donc on peut permuter intégrale et somme.
$\int_0^{+\infty} (\sum_{k=0}^{R-1}q^x(1-q^x)^k)dx=\sum_{k=0}^{R-1}(\int_0^{+\infty}q^x(1-q^x)^k dx)$
Vous avez trouvé $\int_0^{+\infty}q^x(1-q^x)^k dx=\frac{-1}{(k+1)\ln q}$ donc $ \sum_{k=0}^{R-1}(\int_0^{+\infty}q^x(1-q^x)^k dx)=\frac{-1}{\ln q}\sum_{k=0}^{R-1}\frac{1}{k+1}$

[Jon83]

Bonjour!

Ah oui....je l'avais oublié ce théorème de permutation des sommes.... Merci!

II.5)
On pose maintenant v(n)=1-(1-q^n)^R
a) soit n un entier naturel. Montrer que pour tout x appartenant à [n,n+1] , v(n+1)<=f(x)<=v(n) ---> f étant décroissante sur R+ on a f(n+1)<=f(x)<=f(n) d'où v(n+1)<=f(x)<=v(n)
b) En déduire que, pour tout N appartenant à N* :
intégrale de 0 à N+1[f(x)dx] <= somme de n=0 à N[v(n)] <= intégrale de 0 à N[f(x)dx]+1

En raisonnant sur les aires, je dois pouvoir écrire: n.v(n) <= intégrale de n à n+1[f(x)dx] <= n.v(n+1)
Mais ensuite, je ne sais pas comment aller vers les inégalités demandées ?....

[Job]

$\int_0^{N+1} f(x) dx =\sum_{n=0}^N(\int_n^{n+1} f(x)dx )\leq \sum_{n=0}^N (\int_n^{n+1} v_n dx) =\sum_{n=0}^N v_n$

$\sum_{n=0}^N v_n =v_0+\sum_{n=0}^{N-1}v_{n+1}= 1+\sum_{n=0}^{N-1}v_{n+1}\leq 1+\sum_{n=0}^{N-1}(\int_n^{n+1} f(x) dx)=1+\int_0^N f(x) dx$

[Jon83]

Merci pour votre réponse....
Je suis désolé, je suis un peu long à percuter, mais je ne comprends pas pourquoi on peut écrire:
intégrale de 0 à N+1[f(x)dx]=somme de 0 à N{intégrale de n à n+1[f(x)dx]} ...?

[Job]

$\int_0^{N+1} =\int_0^1 +\cdots +\int_N^{N+1} =\sum_{n=0}^{N} \int_n^{n+1}$
Ceci de manière à se placer sur les intervalles $[n,n+1]$ sur lesquels $f(x)\leq v_n$

[Jon83]

Expliqué ainsi, c'est limpide.... mais je ne le vois pas immédiatement ... manque d'entraînement???
Merci pour votre aide!

[Job]

Il arrive qu'on coince sur des choses très simples alors qu'on a fait avant des choses nettement plus difficiles !

[Jon83]

Merci pour votre indulgence....
A bientôt!

[Jon83]

Bonjour!
Je reviens sur la modélisation de greffe de rosiers car j'ai encore quelques points obscurs...
Pour la compréhension, je repars de la partie II dans laquelle on se propose d'étudier le nombre Y de semaines nécessaires à la prise des greffes sur les R rosiers. Pour chaque rosier, le nombre de semaines nécessaire est égal au nombre de greffes nécessaires .
1) Soit n un entier >=1
1a) montrer que P(Y<=n)=(1-q^n)^R --> P(Y<=n)=P[X(1)<=n,...,X(R)<=n]=Produit de k=1 à R {P[X(k)<=n]} en utilisant l'indépendance des variables et tous calculs faits, je trouve le résultat.
1b) En déduire P(Y=n) : P(Y=n)=P(Y<=n)-P(Y<=n-1) ce qui donne (1-q^n)^R - (1-q^(n-1))^R

2) Soit Z une variable aléatoire à valeurs dans N. Dans cette question pour n appartenant à N on note u(n)=P(Z=n) et v(n)=P(Z>n).
Soit N un entier naturel non nul
2a) Pour tout entier naturel n non nul, exprimer u(n) en fonction de v(n-1) et v(n) --> OK je trouve u(n)=v(n-1)-v(n)
2b) En déduire que Somme de n=1 à N[n.u(n)] = (Somme de n=0 à N-1 [v(n)]) - N.v(n) --> OK
En déduire que, si la série Somme[v(n)] converge, alors la série Somme[n.u(n)] converge

J'ai posé T(n)=Somme de n=1 à N [n.u(n)] et S(n)=Somme de n=0 à N[v(n)] . J'ai vu que si la série Somme[v(n)] converge, alors la suite (S(n)) converge et elle est donc majorée.
Par ailleurs, avec l'égalité précédente, T(N)<=S(N-1) car N.v(n)>=0 donc la suite (T(n)) est majorée.
Ensuite, je me perd en conjecture sans aboutir....Merci d'avance pour votre aide!

[Job]

Bonjour

Il suffit de remarquer que la suite $(T_N)$ est croissante, puisque $T_N-T_{N-1}=Nu_N\geq 0$
$(T_N)$ croissante, majorée converge donc la série $\sum nu_n$ converge.