Modélisation d'un procédé de greffes de Rosiers

[Jon83]

Bonjour!

Lorsqu'une greffe est opérée, on sait au bout d'une semaine si elle a pris ou non.
On suppose que la probabilité pour qu'une greffe donnée prenne est une constante p appartenant à ]0,1[ ; on pose q=1-p.
On veut greffer R rosiers où R>=1
Pour chacun d'entre eux on opère une greffe. Chaque semaine, si la greffe ne prend pas , on recommence jusqu'à ce qu'elle prenne effectivement.
On suppose toutes les expériences mutuellement indépendantes.
1) On appelle G le nombre de greffes nécessaires à la prise d'un rosier donné. Déterminer la loi de G --> Réponse=loi géométrique de paramètre p
2) On greffe simultanément les R rosiers qui seront numérotés de 1 à R. On désigne par X_k la v.a. égale au nombre de greffes nécessaires à la prise de la greffe du rosier k avec 1<=k<=R , et par X le nb total de greffes nécessaires pour que les greffes prennent sur les R rosiers. Les v.a. X_k sont évidemment indépendantes.
2a) quelle est la loi de X_k pour 1<=k<=R ? -->Réponse X_k suit une loi géométrique de paramètre p
2b) exprimer X en fonction des X_k ? --> Réponse X=somme de k=1 à R (X_k)
3) On se propose de chercher la loi de X
3a) Déterminer l'ensemble I des valeurs prises par X ? Là, je commence à bloquer... Merci pour votre aide!!!

[Job]

Bonsoir

Je suis d'accord avec vos réponses.

Quant aux valeurs prises pas $X$ : la plus petite valeur possible est $R$ et puisqu'on recommence jusqu'à ce que la greffe prenne, l'ensemble des valeurs prises par $X$ est $\{n\in {\mathbb N}\ /\ n\geq R\}$

[Jon83]

Bonjour!
Merci pour votre réponse! Je n'avait pas compris que X_k était supérieur ou égal à 1....

I2b) Soit n appartenant à I
I2bi) Soit (x_1,...,x_R) un R-uplet de (N*)^R tel que x_1+...+x_R=n
Exprimer P(X_1=x_1,...,X_R=x_R) en fonction de p,q,n et R ?

P(X_1=x_1,...,X_R=x_R) =Produit de k=1 à R[P(X_k=x_k]
En raison de l'indépendance des variables =Produit de k=1 à R[pq^(x_k-1)]=p^R*(Produit de k=1 à R[q^(x_k-1)])
Je ne sais pas comment calculer Produit de k=1 à R[q^(x_k-1)] ??? Merci pour votre aide!

[Job]

$P(X_1=x_1,\cdots ,X_R=x_R)=\prod_{x_1+\cdots +x_R=n} (q^{x_k-1}p)=q^{\sum x_k-R}p^R=q^{n-R}p^R$

Pour interpréter ce résultats : puisqu'on continue jusqu'à ce que la greffe soit réussie pour les $R$ rosiers, il y a donc $R$ réussites et puisqu'il y a $n$ essais, $n-R$ échecs)

[Jon83]

Ok! Merci pour votre réponse...
J'essaye d'avancer sur la suite...à bientôt!

[Jon83]

Bonjour!
Toujours dans la modélisation de greffes de rosiers, on me demande d'étudier sur R+ la fonction f(x)=1-(1-q^x)^R.
J'ai trouvé qu'elle était décroissante sur R+
Par un DL(2) j'ai trouvé l'équivalent f(x)-R.q^x ~ (1/2).R.(R-1)q^(2x) quand x-->+infini
On me demande d'en déduire qu'il existe un réel A>0 tel que pour x>A f(x)<=R.q^x : là je ne sais pas comment faire!
Merci pour votre aide...

[Job]

Il y a une erreur de signe dans l'équivalent : $(1-q^x)^R\sim 1-Rq^x+\frac{R(R-1)}{2}q^{2x}$ donc $f(x)\sim Rq^x -\frac{R(R-1)}{2}q^{2x}$
d'où $f(x)-Rq^x \sim -\frac{R(R-1)}{2}q^{2x}$

Au voisinage de l'infini, 2 équivalents sont de même signe or $-\frac{R(R-1)}{2}q^{2x}<0$ donc $\exists A'>0\ / \forall 2x>A',\ f(x)-Rq^{2x}\leq 0$
ce qui équivaut à dire $\exists A>0\ /\ \forall x>A,\ f(x)<\leq Rq^x$

[Jon83]

Merci pour votre réponse....Une stupide erreur de signe...grrrrrrr
En intégrant Rq^x de A à +infini, je trouve que cette intégrale converge, et par le théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives, je peux conclure que l'intégrale de A à +infini de f(x).dx converge et en déduire que l'intégrale de 0 à +infini de f(x).dx converge.
On demande ensuite de montrer que pour tout x de R+ : f(x)=somme de k=0 à R-1 de q^x(1-q^x)^k ce qui ne pose pas de pb!
Il faut en déduire que l'intégrale de 0 à +infini f(x).dx=-(1/lnq) somme de k=0 à R-1 de 1/(k+1)....
J'ai essayé de calculer l'intégrale de 0 à A de q^x(1-q^x)dx : je trouve une expression qui a pour limite quand A-->+infini : -1/[(k+1)lnq] ! ça se rapproche mais je n'arrive pas à faire le lien avec l'intégrale demandée...je tourne en rond...
Merci pour votre aide!

[Job]

C'est pratiquement terminé, on a donc $\int_0^{+\infty}q^x(1-q^x)^k dx =\frac{-1}{(k+1)\ln q}$ puisque c'est la limite quand $A$ tend vers $+\infty$.
$\int_0^{+\infty}f(x) dx =\frac{-1}{\ln q} \sum_{k=0}^{R-1} \frac{1}{k+1}$

[Jon83]

Je ne comprends pas comment vous passez de la 1ère égalité à la 2ème ?