Modélisation d'un procédé de greffes de Rosiers

[Jon83]

OK, merci!...je suis passé à coté...grrr

2c) Exprimer v(N) à l'aide d'un reste de la série de terme général u(n); montrer que si la série Somme[n.u(n)] converge, alors
N.v(N) <= Somme de n=N+1 à +infini [n.u(n)] . En déduire que la suite (N.v(N)) converge et déterminer sa limite.....

Là , je ne comprends même pas le début de la question? C'est quoi un reste de la série? un terme qui tend vers epsilon? Comment l'exprimer?....

[Job]

Le reste d'ordre $N$ d'une série $\sum u_n $ est égal à $\sum_{n=N+1}^{\infty} u_n$ et si la série converge, ce reste a pour limite 0.

$v(N)=P(Z>N)=1-\sum_{n=1}^N u_n=\sum_{n=1}^{\infty} u_n -\sum_{n=1}^N u_n =\sum_{n=N+1}^{\infty} u_n$

$\forall n \geq {N+1},\ nu_n\geq N u_n$ donc $\sum_{n=N+1}^{\infty} nu_n \geq N \sum_{n=N+1}^{\infty} u_n=N v(N)$ d'après le résultat précédent

$\sum_{n=N+1}^{\infty} nu_n $ est le reste d'ordre $N$ d'une série convergente donc a pour limite 0.
$0\leq Nv(N)\leq \sum_{n=N+1}^{\infty} nu_n $ donc, par encadrement, $\lim Nv(N) =0$

[Jon83]

OK...au moins, maintenant, j'ai une idée précise du reste d'une série! Merci

2d) En déduire que Z possède une espérance su et seulement si la série Somme[v(n)] converge et que dans ce cas on a
E(Z)=Somme de n=0 à +infini[v(n)] ---> en partant de la définition de l'espérance et en utilisant les résultats précédents, je retrouve bien ce résultat.

3) Pour la suite on pose pour tout n appartenant à N v(n)=1-(1-q^n)^R
3a) Donner un équivalent de v(n) quand n tend vers +infini ---> OK: en passant par un DL(0) de (1-x)^a je trouve v(n) ~ Rq^n

3b) En déduire que E(Y) existe et que E(Y)=Somme n=0 à +infini[v(n)] ????
Je sais d'après II.1) que P(Y<=n)=(1-q^n)^R et que v(n)=P(Y>n) .... mais ensuite je tourne en rond ...

[Job]

Puisque $v_n\sim Rq^n$, il existe un réel $\alpha>1$ et un entier naturel $N_0$ tel que $\forall n>N_0,\ 0\leq v_n\leq \alpha Rq^n$

La série $\sum \alpha Rq^n$ est une série géométrique convergente puisque $0<q<1$ donc la série à termes positifs $\sum v_n$ majorée à partir du rang $N_0$ par une série convergente est convergente.

On a donc , en utilisant le résultat établi précédemment, $E(Y)=\sum_{n=0}^{\infty} 1 -(1-q^n)^R$

[Jon83]

Merci pour votre réponse.
Pourquoi faut-il introduire le réel alpha?

[Job]

Je voulais obtenir une majoration de $\sum v_n$ par une série convergente donc comme $v_n\sim Rq^n$, on ne pouvait pas affirmer que $v_n\leq Rq^n$ mais à partir d'un certain rang, tous les termes $v_n$ sont situés dans un intervalle autour de $Rq^n$ donc avec $\alpha>1$, $\alpha Rq^n$ majore $v_n$. On aurait pu prendre une valeur précise pour $\alpha$ par exemple 2.

[Jon83]

OK: c'est super clair! Merci
Je vais essayer de terminer tout seul, mais il ne reste plus grand chose...
A bientôt!