Bonjour à tous!
Soient deux entiers n et p tels que p<=n². Une urne contient n² boules numérotées de 1 à n².
On tire deux boules simultanément. Déterminer la probabilité pour que la différence de leurs numéros soit un carré.
On modélise le tirage de deux boules par l'univers Oméga qui est l'ensemble des combinaisons de deux boules parmi n² boules.
On munit Oméga de la probabilité uniforme.
Soit A l'événement "la différence des n° des 2 boules est un carré"; on a donc P(A)=card(A)/card(Oméga)=card(A)/comb(n²,2).
Le problème est de calculer card(A).
Je ne sais pas comment faire... Merci d'avance pour votre aide!
Dénombrement & probabilité
Re: Dénombrement & probabilité
Bonjour
Soit $a$ le pus grand des 2 nombres, on veut $a-b=k^2$ avec $1\leq k \leq n-1$
D'autre part $a\leq n^2$ donc $k^2+b\leq n^2$ soit $1\leq b\leq n^2-k^2$
Donc $Card (A)=\sum_{k=1}^{n-1}(n^2-k^2)=(n-1)n^2-\sum_{k=1}^{n-1} k^2$
Soit en utilisant la formule donnant la somme des carrés $Card(A)=(n-1)n^2-\frac{(n-1)(n)(2(n-1)+1)}{6} =\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$
J'ai vérifié l'expression pour $n=2$ et $n=3$ et ça marche.
Soit $a$ le pus grand des 2 nombres, on veut $a-b=k^2$ avec $1\leq k \leq n-1$
D'autre part $a\leq n^2$ donc $k^2+b\leq n^2$ soit $1\leq b\leq n^2-k^2$
Donc $Card (A)=\sum_{k=1}^{n-1}(n^2-k^2)=(n-1)n^2-\sum_{k=1}^{n-1} k^2$
Soit en utilisant la formule donnant la somme des carrés $Card(A)=(n-1)n^2-\frac{(n-1)(n)(2(n-1)+1)}{6} =\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$
J'ai vérifié l'expression pour $n=2$ et $n=3$ et ça marche.
Re: Dénombrement & probabilité
Ok! Merci...