Probabilité

[youcef-ait]

Bonjour,



L'élève est en licence pro, il est malheureusement pas tombé sur quelqu'un qui aime les probas, et je suis incapable de l'aider sur chacun de ces exercices. Il y a des notions de Terminal S dont je me souviens très vaguement, je ne sais pas si vous pouvez trouver le temps de l'aider pour son DM. Je vous remercie d'avance Job.

[Job]

Bonjour

Tous les exercices sont-ils à faire ?
Est-ce urgent ?
J'aime beaucoup les probas mais je n'aurai pas beaucoup le temps ce soir.

[youcef-ait]

Si vous n'avez pas le temps, je préfère que vous en fassiez aucun, je n'aime pas profiter de la gentillesse des gens, je préfère dans ce cas là que vous fassiez ce que vous avez envie de faire, enfin ce que vous trouvez rapide à faire pour vous sans vous prendre votre soirée ou sinon faites en aucun si vous n'avez pas le temps, il y a aucun mal ^^.

Edit : c'était un devoir pour demain

[Job]

Exercice 2
Le cardinal de l'univers est égal au nombre de combinaisons de 3 boules prises parmi 9 donc $Card (\Omega)={9\choose 3}=84$
A : Il faut 3 boules blanches parmi 4. $P(A)=\frac{4\choose 3}{84}=\frac{4}{84} =\frac{1}{21}$
B : B est l'événement contraire de toutes les boules sont blanches ou toutes les boules sont noires.
$P(B)=1-(\frac{4}{84} +\frac{5\choose 3}{84})=1-\frac{14}{84} =\frac{70}{84}=\frac{5}{6}$
C : Il peut donc y avoir 2 boules blanches et une noire. $P(C)=\frac{{4\choose 2} \times {5\choose 1}}{84}=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}$
D : 5 boules portent un numéro impair. $P(D)=\frac{5\choose 3}{84}=\frac{10}{84} =\frac{5}{42}$

Exercice 3 Une éventualité est une combinaison de 4 cartes parmi 32. $Card (\Omega} ={32\choose 4}=35960$
1) Il Y a 4 couleurs et dans chaque couleur 8 cartes dont il faut en prendre 4.
$P(A)=\frac{4\times {8\choose 4}}{35960}$
2) $P(B)=\frac{{8\choose 1}\times {8\choose 1} \times {8\choose 1} \times {8\choose 1}}{35960}=\frac{8^4}{35960}$
3) Il faut 1 as parmi 4 et 3 cartes parmi les 28 qui ne sont pas des as. $P(C)=\frac{{4\choose 1} \times {28\choose 3}}{35960}$
4) 2 as parmi 4 et 2 cartes parmi les 28 qui ne sont pas des as. $P(D)=\frac{{4\choose 2}\times {28\choose 2}}{35960}$
5) 4 cartes parmi les 28 qui ne sont pas des as. $P(E)=\frac{28\choose 4}{35960}$
6) C'est l'événement contraire du précédent donc $P(F)=1-\frac{28\choose 4}{35960}$
7) 2 possibilités suivant qu'on a l'as de cœur ou non.
Avec l'as de cœur il faut un autre cœur parmi 7 et 2 cartes parmi les (32-11) qui ne sont ni des cœurs ni des as donc $P(G_1)=\frac{{7\choose 1}\times {21\choose 2}}{35960}$
Sans l'as de cœur : 1 as parmi 3, 2 cœurs parmi 7, 1 carte parmi les 21 qui ne sont ni des as ni des cœurs donc $P5G_2)=\frac{{3\choose 1}\times {7\choose 2}\times {21\choose 1}}{35960}$
Et on additionne les 2
8) Il y a 8 valeurs possibles. $P(H)=\frac{8}{35960}$

Les calculs sont à terminer . Je traite la suite dans un autre message.

[Job]

Exercice 4
Un tiercé est un arrangement de 3 chevaux parmi 20. $Card (\Omega)=A_{20}^3=20\times 19 \times 18=6840$
Donc 6840 tiercés possibles.
La probabilité de gagner dans l'ordre est donc $\frac{1}{6840}$
Il y a 3!=6 permutations possibles de 3 chevaux donc la probabilité de gagner dans le désordre est $\frac{6}{6840}=\frac{1}{1140}$

Exercice 5
Les contrôles étant indépendants $P(E_1)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{20}$
Les événements contraires sont également indépendants donc $P(E_4)=\frac{3}{4} \times \frac{4}{5}=\frac{3}{5}$
$E_2$ est l'événement contraire de $E_4$ donc $P(E_2)=1-\frac{3}{5} =\frac{2}{5}$
$E_3$ est la réunion de "le contrôle a lieu dans A et pas dans B" ou "le contrôle a lieu dans B et pas dans A"
$P(E_3)=\frac{1}{4} \times \frac{4}{5} +\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{7}{20}$
Il m'a semblé plus logique de prendre les événements dans cet ordre.

Exercice 5 bis
$X$ peut prendre les valeurs : 0 , 1, 2, 3, 4.
$Card (\Omega)={8\choose 4}=70$
Il y a une seule possibilité que les 4 jetons soient noirs ou que les 4 jetons soient blancs donc : $P(X=0)=P(X=4) =\frac{1}{70}$
Pour $X=1$ il faut un jeton noir parmi 4 et 3 jetons blancs parmi 4 et même calcul pour $X=3$ en inversant blanc et noir
$P(X=1)=P(X=3) =\frac{{4\choose 1}\times {4\choose 3}}{70}=\frac{16}{70}$
Pour $X=2$ il faut 2 noirs parmi 4 et 2 blancs parmi 4 $P(X=2)=\frac{{4\choose 2} \times {4\choose 2}}{70}=\frac{36}{70}$
Pour l'espérance et l'écart-type, il suffit d'appliquer les définitions.

Suite dans un troisième message

[Job]

Exercice 6
1) $P(E)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$

2) a) Il y a répétition d'une même épreuve et les tirages sont indépendants les uns des autres donc $X$ duit une loi binomiale avec $n=5$ et $p=\frac{5}{14}$

b) $P(F)=P(X=2)={5\choose 2}\times (\frac{5}{14})^2 \times (1-\frac{5}{14})^3=\frac{182250}{537824}\simeq 0,34$

Exercice 7
Dans la table de la loi de Poisson de paramètre 4, il faut faire la somme des valeurs 7, 8 et 9 de $k$
0,060+0,030+0,013=0,103.

[youcef-ait]

Je vous remercie d'avoir ce temps-là et je suis désolé de vous avoir importuner cette soirée, j'espère que ça ne se reproduira plus.

[Job]

Pas de problème, j'ai simplement dû aller assez vite et je n'ai peut-être pas toujours expliqué suffisamment le raisonnement.
Bonne fin de soirée.