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par Job » 23 octobre 2014, 14:25
Bonjour
Exercice 1
1) Soit X la variable aléatoire égale au nombre d'articles défectueux.
$P(X=k)={200\choose k} 0,005^k (100-0,005)^{200-k}={200\choose k} 0,005^k 0,995^{200-k}$
$P(X=0)=0,995^{200}=0,3670$
$P(X=1)=200\times 0,005\times 0,995^{199}=0,3688$
$P(X=2)={200\choose 2}\times 0,005^2 \times 0,995^{198}=\frac{200\times 199}{2!}\times 0,005^2 \times 0,995^{198}=0,1844$
........
2) $P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$
Le plus souvent on utilise la table avec ici $\lambda =1$
En utilisant la table, j'ai : $P(X=0)=0,36788$ ; $P(X=1)=0,36788$ ; $P(X=2)=0,18394$ ; $P(X=3)=0,06131$ ; $P(X=4)=0,1533$ ; $P(X=5)=0,00307$
Exercice 2
1) a) Puisque le prélèvement a lieu avec remise, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,03$
$E(X)=np=1,5$ ; $Var(X)=np(1-p)=1,455$ ; $\sigma(X)=\sqrt{Var (X)}=1,206$
b) $P(X=2)={50\choose 2} 0,03^2\times 0,97^{48}=0,2555$
2) $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,223+0,335+0,251=0,809$
$P(2<X<5)=P(X=3)+P(X=4)=0,126+0,047=0,173$
Exercice 3
1) Puisque les pannes sont indépendantes les une des autres, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,04$
$P(X=k)={N\choose k} 0,04^k 0,96^{N-k}$
$E(X)=N\times 0,04=0,04N$ ; $Var(X) =N\times 0,04\times 0,96=0,0384 N$
2) $\lambda =Np=4$
On cherche $P(X\geq 5$. On utilise l'événement contraire : $P(X\geq 5)=1-P(X<5)=1-P(X\leq 4)$
$P(X\leq 4)=0,01832+0,07326+0,14653+0,19637+0,19537=0,62885$ (dans certaines tables, on a directement le résultat)
$P(X\geq 5)=1-0,62885=0,37115$
(J'aime bien les probabilités)
