Bonjour,
En consultant un manuel, je suis "tombée" sur cet énoncé
X et Y sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes
X suit la loi B(n,p1) ave 0 < p1 < 1
Y suit la loi B(n,p2) ave 0 < p2 < 1
Z=2n-X-Y
Calculer la probabilité de l'évènement Z=2n-1
Merci d'avance pour toute indication.
lois de probabilité
Re: lois de probabilité
Bonjour
Le problème revient à calculer la probabilité que $X+Y=1$.
$X$ peut prendre les valeurs entières de 0 à $n$. De même pour $Y$. Donc $X+Y$ peut prendre les valeurs entières de 0 à $2n$.
Nécessairement une des variables doit prendre la valeur 1 et l'autre 0 et comme elles sont indépendantes
$P(X+Y=1)=P(X=1)\times P(Y=0) +P(X=0)\times P(Y=1)$
$={n\choose 1} p_1^1(1-p_1)^{n-1} \times {n\choose 0} p_2^0(1-p_2)^n+{n\choose 0} p_1^0(1-p_1)^n\times {n\choose 1}p_2^1(1-p_2)^{n-1}$
$=np_1(1-p_1)^{n-1}(1-p_2)^n +n(1-p_1)^np_2(1-p_2)^{n-1}$
$=n(1-p_1)^{n-1}(1-p_2)^{n-1}[p_1(1-p_2)+p_2(1-p_1)]$
$=n(1-p_1)^{n-1}(1-p_2)^{n-1}(p_1+p_2-2p_1p_2)$
Le problème revient à calculer la probabilité que $X+Y=1$.
$X$ peut prendre les valeurs entières de 0 à $n$. De même pour $Y$. Donc $X+Y$ peut prendre les valeurs entières de 0 à $2n$.
Nécessairement une des variables doit prendre la valeur 1 et l'autre 0 et comme elles sont indépendantes
$P(X+Y=1)=P(X=1)\times P(Y=0) +P(X=0)\times P(Y=1)$
$={n\choose 1} p_1^1(1-p_1)^{n-1} \times {n\choose 0} p_2^0(1-p_2)^n+{n\choose 0} p_1^0(1-p_1)^n\times {n\choose 1}p_2^1(1-p_2)^{n-1}$
$=np_1(1-p_1)^{n-1}(1-p_2)^n +n(1-p_1)^np_2(1-p_2)^{n-1}$
$=n(1-p_1)^{n-1}(1-p_2)^{n-1}[p_1(1-p_2)+p_2(1-p_1)]$
$=n(1-p_1)^{n-1}(1-p_2)^{n-1}(p_1+p_2-2p_1p_2)$
Re: lois de probabilité
Un grand merci Job.
Je n'avais pas réalisé que X+Y ne pouvait prendre que des valeurs entières alors, pour X+Y=1, j'imaginais une infinité de cas alors qu'il y en a que 2 ...
Encore merci.
Je n'avais pas réalisé que X+Y ne pouvait prendre que des valeurs entières alors, pour X+Y=1, j'imaginais une infinité de cas alors qu'il y en a que 2 ...
Encore merci.