Déplacement d'une particule

[edrouin]

Bonsoir, j'ai un exercice à faire et le problème c'est que je n'arrive pas à démarrer parce que je ne comprends pas l'énoncé ...

X1 est t'il égal à p ?

Voici le début du problème :

Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance

[Job]

Bonjour

1. a)
I.) $x_0=0$ donc $x_1=1$ ou -1 et on a $P(X_1=1)=p$ et $P(X_1=-1)=q$

II.) $P(X_2=2/X_1=1)=p$ ; $P(X_2=0/X_1=1)=q$ ; $P(X_2=0/X_1=-1)=p$ ; $P(X_2=-2/X_1=-1)=q$
$X_2$ peut donc prendre 3 valeurs : 2, 0, -2.
D'après la formule des probabilités totales :
$P(X_2=2)=P[(X_2=2)\cap (X_1=1)]+P[(X_2=2)\cap (X_1=-1)]$ $=P(X_2=2/X_1=1)\times P(X_1=1)+P(X_2=2/X_1=-1)\times P(X_1=-1)=p\times p +0\times q =p^2$

On procède de la même manière pour les 2 autres calculs.
$P(X_2=0)=P(X_2=0/X_1=1)\times P(X_1=1) +P(X_2=0/X_1=-1)\times P(X_1=-1)=qp+pq=2pq$
$P(X_2=-2)=P(X_2=-2/X_1=1)\times P(X_1=1) +P(X_2=-2/X_1=-1)\times P(X_1=-1)=0\times p +q\times q =q^2$

Et on vérifie que la somme des 3 probabilités est bien égale à 1.

III.) À partir des 3 valeurs de $X_2$, on a :
$P(X_3=2/X_2=2)=1\ ;\ P(X_3=-1/X_2=-2)=1\ ;\ P(X_3=1/X_2=0)=p\ ;\ P(X_3=-1/X_2=0)=q$
En n'écrivant pas les probabilités qui sont nulles on a :
$P(X_3=2)=P(X_3=2/X_2=2)\times P(X_2=2)=1\times p^2=p^2$
$P(X_3=1)=P(X_3=1/X_2=0)\times P(X_2=0)=p\times 2pq=2p^2q$
$P(X_3=-1)=P(X_3=-1/X_2=-2)\times P(X_2=-2)+P(X_3=-1/X_2=0)\times P(X_2=0)=1\times q^2+q\times 2pq=q^2+2p^2q$

On vérifie également que la somme des 3 probabilités est égale à 1.

b) Il suffit d'appliquer la définition de l'espérance.

[edrouin]

D'accord merci beaucoup.

J'ai trouvé les espérances mais est-ce que je pourrais avoir un avis pour la suite s'il vous plait ?

On a : $ a_{n}=P( X_{n}=0)$
$ b_{n}=P( X_{n}=-1)$
$ c_{n}=P( X_{n}=-2)$
$d_{n}=P( X_{n}=1)$
$e_{n}=P( X_{n}=2)$
et je dois exprimer $ a_{n+1}$ et $ b_{n+1}$ etc ...

est ce que $ a_{n+1}= a_{n}+1 $ ? et $b_{n+1}= b_{n}+1$ avec la probabilité p ?

Merci d'avance

[Job]

On commence par établir les différentes valeurs que peut prendre $X_{n+1}$ suivant les valeurs de $X_n$ et j'écris entre parenthèses les probabilités correspondantes.
- Si $X_n=0$, alors $X_{n+1}=1\ (p)$ ou $X_{n+1}=-1\ (q)$
- Si $X_n=-1$ alors $X_{n+1}=0\ (p)$ ou $X_{n+1}=-2\ (q)$
- Si $X_n=-2$ alors $X_{n+1}=-1 (1)$
- Si $X_n=1$ alors $X_{n+1} =2\ (p)$ ou $X_{n+1}=0\ (q)$
- Si $X_n=2$ alors $X_{n+1}=2\ (1)$

Il n'y a plus qu'à réutiliser ces résultats comme dans la première question.
$a_{n+1}=P(X_{n+1}=0)=P(X_{n+1}=0/X_n=-1)/times P(X_n=-1) +P(X_{n+1}=-0/X_n=1)\times P(X_n=1)$
$=pb_n+qd_n$

$b_{n+1}=P(X_{n+1}=-1)=P(X_{n+1}=-1/X_n=0)\times P(X_n=0) +P(X_{n+1}=-1/X_n=-2)\times P(X_n=-2)$
$=qa_n+1\cdot c_n$

On fait de même pour les autres.
$c_{n+1}=P(X_{n+1}=-2)=qb_n$
$d_{n+1}=P(X_{n+1}=1)=pa_n$
$e_{n+1}=P(X_{n+1}=2)=pd_n+e_n$