Théorème "central-limit"

[emilie]

Exercice: Lancé de pièce de monnaie

n=100
X=nbr de "pile" obtenu parmi 100 lancés

On cherche les événements rares (probabilité totale de 5%).
Pour cela, on applique le théorème "central-limit" pour trouver une approximation de la loi de X par une loi normale.
(Xi= résultat du ième lancé de pièce, alors X=X1+..+Xn)


J'ai fait:
X loi binomiale B(100;0,5) par la loi normale N(50;5)
On cherche [a;b] tel que P(a<X<b)=95%
N(mu; écart type/racine carré(n))=N(50;0,5)
I=[mu-y;mu+y]
En résolvant P(mu-y<X<mu+y)=0,95
je trouve à la fin: y=1,96*(écart-type/racine carré(n))=1,96*0,5=0,98
soit I=[50-0,98;50+0.98]=[49,02; 50,98]

Cet intervalle me semble petit pour réunir les 95% mais je ne parvient pas à me corriger..
Si quelqu'un pouvait y jeter un coup d’œil et m'aider ça serait sympa
Merci d'avance. Bonne soirée

Emilie

[Job]

Bonsoir

$X$ est la somme de 100 variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de moyenne $p=0,5$ et de variance $p(1-p)=0,25$ donc $\frac{X-np}{\sigma \sqrt n}=\frac{X-50}{5}$ suit la loi normale centrée réduite.

[emilie]

Merci Job, oui ça j'ai compris mais pour cet exo, il faut utiliser le théorème "central-limit" ..

[Job]

C'est bien le théorème central-limit que j'ai utilisé mais on peut écrire ce théorème sous différentes formes.
Tu as posé $X=\sum_{i=1}^{100} X_i$ donc une forme du théorème central-limit est d'écrire que $\frac{\frac{X}{100}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{100}}}$ converge vers une variable normale centrée réduite.
Mais en multipliant numérateur et dénominateur par 100, on obtient : $\frac{\frac{X}{100}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{100}}}=\frac{X-100\mu}{\sigma \sqrt {100}}=\frac{X-50}{5}$ ce qui est la forme que j'ai utilisée.

[emilie]

Je n'arrive pas à comprendre quelque chose en fait.. je vous montre ce que j'ai fait..

[Job]

Le problème est que tu mélanges 2 calculs.
Soit on considère $X$ variable aléatoire égale au nombre de piles obtenu. $X$ suit alors la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,5$. On fait alors une approximation par la loi normale de moyenne 50 et d'écart-type $\sqrt{np(1-p)}=5$

Soit on veut utiliser le théorème central limite en considérant qu'on a une somme de variables de Bernoulli (ce que j'ai fait plus haut). On a alors $\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{0,5}{10}=0,05$.
On obtient alors $\frac{2y}{0,05}=1,96$ soit $y=0,049$. Mais ce nombre est à multiplier par 100 car $\bar X=\frac{X}{100}$

[emilie]

Ahh d'accord, bon je vais refaire le calcul qu'avec le théorème central-limite maintenant que j'ai compris!
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre en tout cas

[emilie]

Je suis à la fin du calcul là mais du coup je comprend pas pourquoi on devrait avoir: (2y/0,05)=1,96 ?

[Job]

Je suis à la fin du calcul là mais du coup je comprend pas pourquoi on devrait avoir: (2y/0,05)=1,96 ?

Mes excuses c'est une étourderie de ma part, le 2 est à supprimer.
$\frac{y}{0,05}=1,96$ soit $y=0,098$ donc en multipliant par 100, on obtient l'intervalle $[50-9,8;50+9,8]=[40,2 ; 59,8]$

Il me semble plus commode d'utiliser une autre forme.
Par le théorème central-limit $\frac{\bar X -\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}$ converge vers la variable normale centrée réduite.
$\frac{\bar X -\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}=\frac{\frac{X}{n}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}=\frac{X-n\mu}{\sigma \sqrt n}$
On travaille alors directement sur $X$

[emilie]

Ok, merci, oui je trouve bien cet intervalle!