Bonjour!
Z étant une var, on me demande de calculer E(Z) en commençant par calculer E[Z(Z-1)].
Quel est l'intérêt de cette diversion, et comment calculer E[Z(Z-1)] si je ne connais que la loi de Z?
Espérance mathématique
Re: Espérance mathématique
Bonjour
S'agit-il d'une variable aléatoire discrète ou continue ?
D'autre part, je présume que c'est dans un problème. Il faudrait que j'en sache davantage pour essayer de répondre.
S'agit-il d'une variable aléatoire discrète ou continue ?
D'autre part, je présume que c'est dans un problème. Il faudrait que j'en sache davantage pour essayer de répondre.
Re: Espérance mathématique
Merci pour ta réponse!
Il s'agit d'une var discrète.
Voici les 3 premières pages du sujet (il est très long...) et ma question porte sur la partie II-8-c
NB: coquille: c'est un calcul de variance et non l'espérance...
Il s'agit d'une var discrète.
Voici les 3 premières pages du sujet (il est très long...) et ma question porte sur la partie II-8-c
NB: coquille: c'est un calcul de variance et non l'espérance...
Re: Espérance mathématique
$E(Z^2)=E(Z(Z-1))+E(Z)$ donc $V(Z)=E(Z^2)-(E(Z))^2=E(Z(Z-1)+E(Z)-(E(Z))^2$
Pour le calcul de $E(Z(Z-1))$, peut-être que certaines questions précédentes doivent être utilisées ou alors c'est faisable directement. J'essaierai de regarder demain.
Pour le calcul de $E(Z(Z-1))$, peut-être que certaines questions précédentes doivent être utilisées ou alors c'est faisable directement. J'essaierai de regarder demain.
Re: Espérance mathématique
$E(Z(Z-1))=\sum_{k\geq 1} k(k-1){r+k-1\choose k} (1-p)^kp^r$
En utilisant (a) $E(Z(Z-1))=\sum_{k\geq 1} (k-1)r {r+k-1 \choose k-1} (1-p)^k p^r=rp^r(1-p)\sum_{k\geq 1} (k-1){r+k-1 \choose k-1} (1-p)^{k-1}$
En posant $k-1=k'$, $\sum_{k\geq 1} (k-1){r+k-1 \choose k-1} (1-p)^{k-1}=\sum_{k'\geq 0}k'{r+k' \choose k'} (1-p)^{k'}\\ =\sum_{k'>0}k'{(r+1)+k'-1\choose k'}(1-p)^{k'}=\sum_{k'>0} (r+1) {(r+1)+k'-1 \choose k'-1}(1-p)^{k'}$
En posant $k'-1=k"$, la somme précédente est égale à :
$(r+1)(1-p)\sum_{k"\geq 0} {(r+2)+k"-1\choose k"}(1-p)^{k"}=(r+1)(1-p) \times \frac{1}{p^{r+2}}$ (en utilisant 5.(d))
On a donc $E(Z(Z-1))=rp^r(1-p)(r+1)(1-p)\times \frac{1}{p^{r+2}}=\frac{r(r+1)(1-p)^2}{p^2}$
En utilisant la formule établie dans le message précédent :
$V(Z)=\frac{r(r+1)(1-p)^2}{p^2}+\frac{r(1-p)}{p} -\frac{r^2 (1-p)^2}{p^2}=\frac{r(1-p)}{p^2}$ après réduction.
En utilisant (a) $E(Z(Z-1))=\sum_{k\geq 1} (k-1)r {r+k-1 \choose k-1} (1-p)^k p^r=rp^r(1-p)\sum_{k\geq 1} (k-1){r+k-1 \choose k-1} (1-p)^{k-1}$
En posant $k-1=k'$, $\sum_{k\geq 1} (k-1){r+k-1 \choose k-1} (1-p)^{k-1}=\sum_{k'\geq 0}k'{r+k' \choose k'} (1-p)^{k'}\\ =\sum_{k'>0}k'{(r+1)+k'-1\choose k'}(1-p)^{k'}=\sum_{k'>0} (r+1) {(r+1)+k'-1 \choose k'-1}(1-p)^{k'}$
En posant $k'-1=k"$, la somme précédente est égale à :
$(r+1)(1-p)\sum_{k"\geq 0} {(r+2)+k"-1\choose k"}(1-p)^{k"}=(r+1)(1-p) \times \frac{1}{p^{r+2}}$ (en utilisant 5.(d))
On a donc $E(Z(Z-1))=rp^r(1-p)(r+1)(1-p)\times \frac{1}{p^{r+2}}=\frac{r(r+1)(1-p)^2}{p^2}$
En utilisant la formule établie dans le message précédent :
$V(Z)=\frac{r(r+1)(1-p)^2}{p^2}+\frac{r(1-p)}{p} -\frac{r^2 (1-p)^2}{p^2}=\frac{r(1-p)}{p^2}$ après réduction.
Re: Espérance mathématique
Super! Merci pour ta réponse: le sujet était un peu long...et encore, il y a une 3ème partie!
J'ai bien suivi le développement, mais j'ai deux questions:
1) je n'ai toujours pas compris pourquoi on passe par E(Z(Z-1)) au lieu d'utiliser la définition V(Z)=E(Z²)-(E(Z))² ?
2) je ne comprends pas le calcul de E(Z(Z-1)) ...
J'ai bien suivi le développement, mais j'ai deux questions:
1) je n'ai toujours pas compris pourquoi on passe par E(Z(Z-1)) au lieu d'utiliser la définition V(Z)=E(Z²)-(E(Z))² ?
2) je ne comprends pas le calcul de E(Z(Z-1)) ...
Re: Espérance mathématique
On ne peut pas utiliser les factorielles puisque $r$ est un réel donc les 2 outils pour la démonstration sont les questions 5.(d) et 8.(a). Les changements d'indice que j'ai faits ont pour but en utilisant 8.(a) de pouvoir ensuite utiliser 5.(d).
Si on veut calculer directement $E(Z^2)$ la première étape est la même en remplaçant $k(k-1)$ par $k^2$
$E(Z^2)=\sum_{k\geq 0} k^2{r+k-1\choose k} (1-p)^kp^r=\sum_{k\geq 1}kr{r+k-1\choose k-1}(1-p)^kp^r=rp^r\sum_{k\geq 1}k{r+k-1\choose k-1}(1-p)^k$
Le problème est alors qu'avec $k{r+k-1\choose k-1}(1-p)^k$, je ne peux pas utiliser la question 8.(a) même avec des transformations.
Je n'ai pas essayé de faire les autres questions, j'ai simplement repéré les résultats pouvant être utiles. Le calcul de $E(Z)$ utilise le même procédé.
Pour faire le problème en 3H30 c'est un gros morceau mais comme c'est un concours le barème dépasse souvent 20.
Si on veut calculer directement $E(Z^2)$ la première étape est la même en remplaçant $k(k-1)$ par $k^2$
$E(Z^2)=\sum_{k\geq 0} k^2{r+k-1\choose k} (1-p)^kp^r=\sum_{k\geq 1}kr{r+k-1\choose k-1}(1-p)^kp^r=rp^r\sum_{k\geq 1}k{r+k-1\choose k-1}(1-p)^k$
Le problème est alors qu'avec $k{r+k-1\choose k-1}(1-p)^k$, je ne peux pas utiliser la question 8.(a) même avec des transformations.
Je n'ai pas essayé de faire les autres questions, j'ai simplement repéré les résultats pouvant être utiles. Le calcul de $E(Z)$ utilise le même procédé.
Pour faire le problème en 3H30 c'est un gros morceau mais comme c'est un concours le barème dépasse souvent 20.
Re: Espérance mathématique
OK, merci pour ces éclaircissements. Je comprends pourquoi je n'ai pas abouti en calculant E(Z²).
Pour E(Z(Z-1)) j'ai écris: E(Z(Z-1))=somme sur k de {k*(k-1)*P[Z(Z-1)=k]} ...et bien sûr je n'ai pas trouvé P[Z(Z-1)=k] ...
J'ai pas bien assimilé la définition de l'espérance d'une var ???
Pour E(Z(Z-1)) j'ai écris: E(Z(Z-1))=somme sur k de {k*(k-1)*P[Z(Z-1)=k]} ...et bien sûr je n'ai pas trouvé P[Z(Z-1)=k] ...
J'ai pas bien assimilé la définition de l'espérance d'une var ???
Re: Espérance mathématique
La probabilité que $Z(Z-1)$ prenne la valeur $k(k-1)$ est égale à la probabilité que $Z$ prenne la valeur $k$.
Donc $E(Z(Z-1))=k(k-1)p_k$
Donc $E(Z(Z-1))=k(k-1)p_k$