Gagner à un jeu d'hasard

Aide sur les questions de probabilités.
youcef-ait
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Gagner à un jeu d'hasard

Message par youcef-ait » 12 décembre 2020, 12:37

Bonjour Job,

Comment savoir si ce jeu est rentable ?

On doit miser 10€ pour jouer.

On doit choisir 4 numéros qui vont de 1 à 14 (tous inclus) avec remise.
- Si un numéro est bien placé : on gagne rien
- SI deux numéros sont bien placés : on gagne 10% du pot total
- Si trois numéros sont bien placés : on gagne 20% du pot total
- Si quatre numéros sont bien placés : on gagne 50% du pot total

Exemple :
Combinaison gagnante : 1 - 2 - 3 - 4
- ma combinaison : 1 - 4 - 5 - 8 (1 seul bon numéro)
- ma combinaison : 10 - 2 - 3 - 1 (2 bons numéros)
...

On appelle P la somme du pot total.

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Job
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Re: Gagner à un jeu d'hasard

Message par Job » 12 décembre 2020, 15:32

Bonjour

Puisqu'il y a remise, le nombre de combinaisons possibles est $14^4$

La probabilité d'avoir 4 numéros bien placés est donc de $\frac{1}{14^4}$

Pour avoir 3 numéros bien placés, il y a $C_4^3=4$ choix pour le rang des numéros bien placés et 13 possibilités pour le mauvais numéro.
Ce qui conduit a une probabilité de $\frac{4\times 13}{14^4}$

Pour avoir 2 numéros bien placés, il y a $C_4^2=6$ choix pour le rang des numéros bien placés et 13 possibilités pour chacun des mauvais numéros;
Donc probabilité = $\frac{6\times 13}{14^4}$.

L'espérance de gain d'un joueur est donc :
$\displaystyle P\times \frac{50}{100}\times \frac{1}{14^4}+ P\times \frac{20}{100}\times \frac{4\times 13}{14^4}+ P\times \frac{10}{100}\times \frac{6\times 13}{14^4}+0$
Soit $\displaystyle \frac{P}{14^4}(0,5+10,4+7,8)=\frac{18,7}{14^4}P$

Soit, si il y a $n$ joueurs $P=10n$, l'espérance de gain d'un joueur est $\displaystyle \frac{187n}{14^4}$

L'espérance de gain de l'organisateur est donc : $\displaystyle 10 n - n\times \frac{187n}{14^4}$
C'est rentable pour lui si $10\geq \frac{187 n}{14^4}$ soit $n\leq 2054$

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