Math-Aide

Bonjour, (L2 maths)
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice s'il vous plaît..

Une urne contient 3 pièces équilibrées. Deux d'entre elles sont normales (avec un côté "pile" et un côté "face"). La troisième présente 2 côtés "face".
On tire au hasard dans l'urne une pièce, puis effectue n lancers successifs et indépendants.
1. Calculer la probabilité d'obtenir au moins 1 "face".
2. Calculer la probabilité de n'obtenir que des "face".
3. Sachant qu'on a obtenu "face" à chaque lancé, quelle est la probabilité d'avoir tiré la pièce avec 2 côtés "face" ?

Bonjour

Je désigne par :
$N$ : la pièce est normale
$T$ : la pièce est truquée
$F$ : on obtient "face"

Il faut commencer par calculer la probabilité de $F$ lors d'un lancer.
$P(F)=P(F\cap N) +P(F\cap T)= P_N(F)\times P(N)+P_T(N)\times P(T)$

Soit $P(F)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} +1\times \frac{1}{3}= \frac{2}{3}$

Avec $n$ lancers on a donc une loi binomiale avec $p=\frac{2}{3}$

1) La probabilité d'obtenir 0 face est $(\frac{1}{3})^n$. Donc la probabilité d'obtenir au moins une fois face est : $1-(\frac{1}{3})^n$

2) La probabilité de n'obtenir que des faces est : $(\frac{2}{3})^n$
Soit $A$ cet événement.

3) $\displaystyle \frac{P(T^n)}{P(A)}=\frac{(\frac{1}{3})^n}{(\frac{2}{3})^n}=(\frac{1}{2})^n$