Bonjour!
Un contrôle est effectué sur les produits d'une fabrique. $\forall k \in \mathbb N^* $ on considère l'événement $A_k$="pour les k premières étapes du contrôle, aucun produit défectueux n'a été découvert".
$\forall u \in \mathbb N^* $ on sait que $P(A_{u+1} / A_u)=P(A_1)=0.94 $
1) Montrer que $\forall k \in \mathbb N^* P(A_k)=(0.94)^k $
2) Calculer, $\forall l \in \mathbb N^* $ la probabilité que la première étape du contrôle détectant un produit défectueux soit la l-ième
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) on me dit que $A_k \subseteq A_{k-1} $ mais je ne comprends pas pourquoi ???
Probabilités conditionnelles
Re: Probabilités conditionnelles
Bonjour
1) Si $A_k$ est réalisé c'est que dans les $k$ premières étapes du contrôle on n'a trouvé aucun produit défectueux donc dans les étapes précédant l'étape $k$, on n'a pas non plus trouvé de produit défectueux donc, en particulier $A_{k-1}$ est réalisé. $A_k\Longrightarrow A_{k-1}$ soit encore $A_k\subset A_{k-1}$.
Par définition d'une probabilité conditionnelle : $P(A_k\cap A_{k-1}=P(A_k/A_{k-1})\times P(A_{k-1})$ soit, compte tenu de l'inclusion :$P(A_k)=0,94 \times P(A_{k-1})$
La suite $(P(A_i))$ est donc une suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme $P(A_1)$. On en déduit que $P(A_k)=P(A_1) \times 0,94^{k-1}=0,94^k$
2) La première étape du contrôle détectant un produit défectueux est l'étape de rang $l$ lorsque les $(l-1)$ étapes précédentes n'ont détecté aucun produit défectueux (et il suffit pour cela que l'étape $l-1$ n'ait détecté aucun produit défectueux) et que l'étape $l$ détecte un produit défectueux.
La probabilité cherchée est donc égale à $ 0,94^{l-1}\times (1-0,94)=0,06\times 0,94^{l-1}$
1) Si $A_k$ est réalisé c'est que dans les $k$ premières étapes du contrôle on n'a trouvé aucun produit défectueux donc dans les étapes précédant l'étape $k$, on n'a pas non plus trouvé de produit défectueux donc, en particulier $A_{k-1}$ est réalisé. $A_k\Longrightarrow A_{k-1}$ soit encore $A_k\subset A_{k-1}$.
Par définition d'une probabilité conditionnelle : $P(A_k\cap A_{k-1}=P(A_k/A_{k-1})\times P(A_{k-1})$ soit, compte tenu de l'inclusion :$P(A_k)=0,94 \times P(A_{k-1})$
La suite $(P(A_i))$ est donc une suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme $P(A_1)$. On en déduit que $P(A_k)=P(A_1) \times 0,94^{k-1}=0,94^k$
2) La première étape du contrôle détectant un produit défectueux est l'étape de rang $l$ lorsque les $(l-1)$ étapes précédentes n'ont détecté aucun produit défectueux (et il suffit pour cela que l'étape $l-1$ n'ait détecté aucun produit défectueux) et que l'étape $l$ détecte un produit défectueux.
La probabilité cherchée est donc égale à $ 0,94^{l-1}\times (1-0,94)=0,06\times 0,94^{l-1}$
Re: Probabilités conditionnelles
Bonjour!
Merci pour ta réponse!
Pour la question 1), j'imaginais la situation ainsi: voir PJ
C'est la raison pour laquelle je pensais que $A_{k-1} \subset A_k$
J'ai du mal à concevoir l'inverse....
Quelque chose doit m'échapper dans la modélisation?
Merci pour ta réponse!
Pour la question 1), j'imaginais la situation ainsi: voir PJ
C'est la raison pour laquelle je pensais que $A_{k-1} \subset A_k$
J'ai du mal à concevoir l'inverse....
Quelque chose doit m'échapper dans la modélisation?