Variable aléatoire discrète

Aide sur les questions de probabilités.
torquemada
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Variable aléatoire discrète

Message par torquemada » 03 mai 2020, 19:05

Bonjour à tous,

Voici le pb
Une variable aléatoire discrète X est définie par:

Pr(X=n)=k/(n.2 puissance(n))

pour n appartient à N

1) Déterminez la valeur de k
2) Calculer l'espérance de X

J'avais pour idée d'écrire intégrale 0-<n de k/(nx 2 puissance(n)) =1 mais l'intégrale s'avère difficile à calculer.

Merci de m'avoir consacré de votre temps

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Job
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Re: Variable aléatoire discrète

Message par Job » 04 mai 2020, 13:52

Bonjour

2 remarques :
- la probabilité n'est pas définie pour $n=0$
- il s'agit d'une variable aléatoire discrète donc il ne s'agit pas de calculer une intégrale mais une somme.

1) Pour $\displaystyle n\in {\mathbb N}^*,\ P(X=n)=k \times \frac{(\frac{1}{2})^n}{n}$

Pour $ \displaystyle 0<x<1,\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$

[Justification $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$ et en primitivant les 2 membres on obtient l'égalité au-dessus.]

Donc avec $\displaystyle x=\frac{1}{2},\ \sum_{n=1}^{\infty} k \times \frac{(\frac{1}{2})^n}{n}=k(-\ln \frac{1}{2})=k\ln 2$

On doit donc avoir $k=\frac{1}{\ln 2}$

2) $\displaystyle E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}n\times \frac{k}{n\times 2^n}=\frac{1}{\ln 2}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n=\frac{1}{\ln 2}(\frac{1}{\frac{1}{2}}-1)=\frac{1}{\ln 2}$

torquemada
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Re: Variable aléatoire discrète

Message par torquemada » 05 mai 2020, 12:03

Merci Job
Comme d'habitude vos explications ,vos remarques et votre disponibilité nous sont d'une aide précieuse.

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