Bonjour à tous,
Voici le pb
Une variable aléatoire discrète X est définie par:
Pr(X=n)=k/(n.2 puissance(n))
pour n appartient à N
1) Déterminez la valeur de k
2) Calculer l'espérance de X
J'avais pour idée d'écrire intégrale 0-<n de k/(nx 2 puissance(n)) =1 mais l'intégrale s'avère difficile à calculer.
Merci de m'avoir consacré de votre temps
Variable aléatoire discrète
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Re: Variable aléatoire discrète
Bonjour
2 remarques :
- la probabilité n'est pas définie pour $n=0$
- il s'agit d'une variable aléatoire discrète donc il ne s'agit pas de calculer une intégrale mais une somme.
1) Pour $\displaystyle n\in {\mathbb N}^*,\ P(X=n)=k \times \frac{(\frac{1}{2})^n}{n}$
Pour $ \displaystyle 0<x<1,\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$
[Justification $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$ et en primitivant les 2 membres on obtient l'égalité au-dessus.]
Donc avec $\displaystyle x=\frac{1}{2},\ \sum_{n=1}^{\infty} k \times \frac{(\frac{1}{2})^n}{n}=k(-\ln \frac{1}{2})=k\ln 2$
On doit donc avoir $k=\frac{1}{\ln 2}$
2) $\displaystyle E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}n\times \frac{k}{n\times 2^n}=\frac{1}{\ln 2}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n=\frac{1}{\ln 2}(\frac{1}{\frac{1}{2}}-1)=\frac{1}{\ln 2}$
2 remarques :
- la probabilité n'est pas définie pour $n=0$
- il s'agit d'une variable aléatoire discrète donc il ne s'agit pas de calculer une intégrale mais une somme.
1) Pour $\displaystyle n\in {\mathbb N}^*,\ P(X=n)=k \times \frac{(\frac{1}{2})^n}{n}$
Pour $ \displaystyle 0<x<1,\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$
[Justification $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$ et en primitivant les 2 membres on obtient l'égalité au-dessus.]
Donc avec $\displaystyle x=\frac{1}{2},\ \sum_{n=1}^{\infty} k \times \frac{(\frac{1}{2})^n}{n}=k(-\ln \frac{1}{2})=k\ln 2$
On doit donc avoir $k=\frac{1}{\ln 2}$
2) $\displaystyle E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}n\times \frac{k}{n\times 2^n}=\frac{1}{\ln 2}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n=\frac{1}{\ln 2}(\frac{1}{\frac{1}{2}}-1)=\frac{1}{\ln 2}$
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Re: Variable aléatoire discrète
Merci Job
Comme d'habitude vos explications ,vos remarques et votre disponibilité nous sont d'une aide précieuse.
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