Bonsoir!
a) on tire 13 cartes dans un jeu de 52 cartes. Soit A l'événement "on tire un seul as" et B l'événement "on tire un as de pique"; montrer que ces événements sont indépendants.
b) Ce résultat est-il toujours valable si on tire 12 cartes dans un jeu de 52 cartes?
Pour a) je n'arrive pas à calculer P(A) et P(B)....
Merci d'avance pour votre aide.
Probabilité - Révision 8: indépendance
Re: Probabilité - Révision 8: indépendance
Bonjour
a) On travaille ici avec des combinaisons.
Le nombre de combinaisons de 13 cartes dans un jeu de 52 cartes est ${52\choose 13}$
Pour l'événement A il faut avoir un as pris parmi 4 et 12 cartes qui ne sont pas des as donc pris parmi 48.
$Card (A)={4\choose 1} \times {48\choose 12}$
$P(A)=\frac{{4\choose 1} \times {48\choose 12}}{52\choose 13}=\frac{4\times 13 \times 37 \times 38 \times 39}{49\times 50 \times 51 \times 52}$ après simplification.
L'événement B est défini par une combinaison de 12 cartes parmi 51 puisque l'as de pique est obligatoire.
$Card (B)={51\choose 12}$ et $P(B)=\frac{51 \choose 12}{52\choose 13}=\frac{1}{4}$ après simplification.
$A\cap B$ est l'événement "on a une main de 13 cartes contenant l'as de pique et c'est le seul as de la main donc les 12 autres cartes sont prises parmi 48".
$Card(A\cap B)={48\choose 12}$ et $P(A\cap B)=\frac{48\choose 12}{52\choose 13}=\frac{13\times 37 \times 38 \times 39}{49 \times 50 \times 51\times 52}$
On vérifie alors que $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ donc A et B sont indépendants.
b) On fait le même raisonnement en remplaçant 13 par 12. Je n'ai pas le temps de vérifier ce matin mais je présume que cette fois, il n'y a plus indépendance. À voir !
a) On travaille ici avec des combinaisons.
Le nombre de combinaisons de 13 cartes dans un jeu de 52 cartes est ${52\choose 13}$
Pour l'événement A il faut avoir un as pris parmi 4 et 12 cartes qui ne sont pas des as donc pris parmi 48.
$Card (A)={4\choose 1} \times {48\choose 12}$
$P(A)=\frac{{4\choose 1} \times {48\choose 12}}{52\choose 13}=\frac{4\times 13 \times 37 \times 38 \times 39}{49\times 50 \times 51 \times 52}$ après simplification.
L'événement B est défini par une combinaison de 12 cartes parmi 51 puisque l'as de pique est obligatoire.
$Card (B)={51\choose 12}$ et $P(B)=\frac{51 \choose 12}{52\choose 13}=\frac{1}{4}$ après simplification.
$A\cap B$ est l'événement "on a une main de 13 cartes contenant l'as de pique et c'est le seul as de la main donc les 12 autres cartes sont prises parmi 48".
$Card(A\cap B)={48\choose 12}$ et $P(A\cap B)=\frac{48\choose 12}{52\choose 13}=\frac{13\times 37 \times 38 \times 39}{49 \times 50 \times 51\times 52}$
On vérifie alors que $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ donc A et B sont indépendants.
b) On fait le même raisonnement en remplaçant 13 par 12. Je n'ai pas le temps de vérifier ce matin mais je présume que cette fois, il n'y a plus indépendance. À voir !
Re: Probabilité - Révision 8: indépendance
OK: j'ai bien compris le raisonnement.
J'ai refait les calculs dans le cas où l'on tire 12 cartes et effectivement P(A inter B)<>P(A)*P(B). A et B ne sont donc pas indépendants dans ce cas.
Merci beaucoup pour ton aide précieuse qui me permet de bien comprendre l'analyse des situations et les techniques de résolutions.
A bientôt, cordialement Jon
J'ai refait les calculs dans le cas où l'on tire 12 cartes et effectivement P(A inter B)<>P(A)*P(B). A et B ne sont donc pas indépendants dans ce cas.
Merci beaucoup pour ton aide précieuse qui me permet de bien comprendre l'analyse des situations et les techniques de résolutions.
A bientôt, cordialement Jon