Probabilité - Révision 6: une histoire de cannes..

[Jon83]

Bonjour!
n désigne un entier supérieur ou égal à 2.
n personnes se rendent à une réception. Chacune dépose sa canne en arrivant et reprend une canne au hasard en repartant.
a) Quelle est la probabilité pour qu'aucune personne ne récupère sa propre canne?
b) Quelle est la probabilité pour qu'exactement k personnes récupèrent leur propre canne?

Je n'ai même pas l'ombre d'une idée pour démarrer! Merci d'avance pour votre aide!

[Job]

Bonjour

C'est un problème bien connu appelé problème des dérangements.

Pour la démonstration on utilise la formule de Poincaré (formule du crible) ou la formule d'inversion de Pascal. As-tu vu une de ces formules ?

[Jon83]

Merci pour ta réponse.
Oui, la formule de Poincaré est dans mon cours, mais je ne l'ai jamais utilisée au delà de i=2...

[Job]

L'exercice est clairement traité : http://fr.wikiversity.org/wiki/Formule_ ... rangements

En cas de difficultés, dis moi où ça coince.

[Jon83]

Si j'ai bien compris, dans la question a) il faut utiliser le nombre de dérangements et le diviser par le nombre total de permutations cad n! donc P(aucune personne ne récupère sa canne)= N_m/n!=Somme k=0 à n{ (-1)^k/k! } ???

[Job]

C'est bien ça.

[Jon83]

OK! Par contre dans la démonstration de la formule je n'ai pas compris comment on passe de Somme pour 1<=i1<i2...<in<=n de [card(intersection de j à k de Ai_j)] à Somme pour 1<=i1<i2...<in<=n de [(n-k)!] ???

[Job]

Pour faciliter l'écriture je prends $k=3$

$Card (\cap_{j=1}^3 A_{i_j})= Card (A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3})$

$A_{i_1}$ est un dérangement qui laisse fixe $i_1$ ...

Donc $A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}$ est un dérangement qui laisse fixes les éléments $i_1$, $i_2$, $i_3$.

Le nombre de tels dérangements est donc égal au nombre de permutations des $(n-k)$ éléments restants.

[Jon83]

OK! Je comprends mieux ainsi.
Merci, et à bientôt!