Bonjour!
On dispose de deux pièces A et B. La pièce A donne pile avec une probabilité de alpha et la pièce B donne pile avec une probabilité beta.
Un joueur choisit au hasard une des deux pièces et la lance.
S'il obtient pile, il rejoue avec la même pièce, s'il obtient face, il change de pièce. Et ainsi de suite.
On note a_k la probabilité pour que le joueur joue la pièce A au lancer numéro k et p_k la probabilité pour que le joueur obtienne pile au lancer numéro k
1) Exprimer a_(k+1) en fonction de a_k; en déduire a_k en fonction de k
2) Déterminer p_k en fonction de k. Calculer sa limite quand k tend vers +infini
3) Comparer cette limite avec la limite de la probabilité d'obtenir pile dans le cas où le joueur choisit une pièce au hasard à chaque lancer.
Ce que j'ai fait:
1) a_(k+1)=a_k*alpha --> c'est une suite géométrique de raison alpha et de 1er terme a_0=1/2 donc a_k=1/2*(alpha)^k
2) p_k=(1/2)^k ; donc quand k-->infini p_k-->0
3) ???
Merci d'avance pour votre aide!
Probabilité révision 05
Re: Probabilité révision 05
Bonjour
Ce n'est pas un exercice facile.
1) Deux cas sont possibles.
a) Il joue avec la pièce A au lancer $k+1$ si il a joué avec la pièce A au lancer $k$ et obtenu Pile
b) Il joue avec la pièce A au lancer $k+1$ si il a joué avec la pièce B au lancer $k$ et obtenu face.
Donc $a_{k+1}=a_k\times \alpha +(1-a_k) \times (1-\beta)=(\alpha +\beta -1)a_k +(1-\beta)$
La suite $(a_k)$ est donc une suite arithmético-géométrique (voir la méthode dans méthodologie lycée)
Je résume rapidement : on considère la suite $(u_k)$ définie par $u_k=a_k-\frac{1-\beta}{1-(\alpha +\beta -1)}=a_k-\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}$
$(u_k)$ est géométrique de raison $(\alpha +\beta -1)$
$u_1=a_1-\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}=\frac{1}{2} -\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}=\frac{1}{2}-\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}=\frac{\beta -\alpha}{2(2-\alpha -\beta)}$ (Il m'a semblé plus logique de considérer que le premier terme de la suite est $a_1$ )
$u_k=\frac{\beta -\alpha}{2(2-\alpha -\beta)} \times (\alpha +\beta -1)^{k-1}$ et $a_k=\frac{\beta -\alpha}{2(2-\alpha -\beta)} \times (\alpha +\beta -1)^{k-1}+\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}$
2) Si la pièce jouée est A, la probabilité d'avoir Pile est $\alpha$. Si la pièce jouée est B, la probabilité d'avoir Pile est $\beta$ donc :
$p_k=a_k\times \alpha +(1-a_k)\times \beta =a_k(\alpha -\beta )+\beta$
En remplaçant $a_k$ par son expression, j'ai obtenu (calcul à vérifier)
$p_k=\frac{-(\alpha-\beta)^2}{2(2-\alpha -\beta)} \times (\alpha +\beta -1)^{k-1} +\frac{\alpha +\beta -2\alpha \beta}{2-\alpha -\beta}$
$\alpha$ et $\beta$ appartiennent à ]0,1[ donc $\alpha +\beta -1 \in ]-1, 1[$
Par conséquent $\lim_{k\to +\infty} (\alpha +\beta -1)^{k-1}=0$ et $\lim_{k\to +\infty} p_k=\frac{\alpha +\beta -2\alpha \beta}{2-\alpha -\beta}$
3) Si à chaque lancer, le joueur choisit la pièce au hasard, pour chaque lancer, la probabilité d'avoir Pile est $\frac{1}{2} \alpha +\frac{1}{2} \beta$ et c'est donc aussi la limite puisque la suite est alors constante.
$\frac{\alpha +\beta -2\alpha \beta}{2-\alpha -\beta} -\frac{\alpha +\beta}{2}=\frac{(\beta-\alpha)^2}{2(2-\alpha -\beta)}\geq 0$
La limite est donc supérieure dans le premier cas à la limite dans le second cas.
Si $\alpha =\beta$ alors les 2 limites sont égales.
Ce n'est pas un exercice facile.
1) Deux cas sont possibles.
a) Il joue avec la pièce A au lancer $k+1$ si il a joué avec la pièce A au lancer $k$ et obtenu Pile
b) Il joue avec la pièce A au lancer $k+1$ si il a joué avec la pièce B au lancer $k$ et obtenu face.
Donc $a_{k+1}=a_k\times \alpha +(1-a_k) \times (1-\beta)=(\alpha +\beta -1)a_k +(1-\beta)$
La suite $(a_k)$ est donc une suite arithmético-géométrique (voir la méthode dans méthodologie lycée)
Je résume rapidement : on considère la suite $(u_k)$ définie par $u_k=a_k-\frac{1-\beta}{1-(\alpha +\beta -1)}=a_k-\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}$
$(u_k)$ est géométrique de raison $(\alpha +\beta -1)$
$u_1=a_1-\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}=\frac{1}{2} -\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}=\frac{1}{2}-\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}=\frac{\beta -\alpha}{2(2-\alpha -\beta)}$ (Il m'a semblé plus logique de considérer que le premier terme de la suite est $a_1$ )
$u_k=\frac{\beta -\alpha}{2(2-\alpha -\beta)} \times (\alpha +\beta -1)^{k-1}$ et $a_k=\frac{\beta -\alpha}{2(2-\alpha -\beta)} \times (\alpha +\beta -1)^{k-1}+\frac{1-\beta}{2-\alpha -\beta}$
2) Si la pièce jouée est A, la probabilité d'avoir Pile est $\alpha$. Si la pièce jouée est B, la probabilité d'avoir Pile est $\beta$ donc :
$p_k=a_k\times \alpha +(1-a_k)\times \beta =a_k(\alpha -\beta )+\beta$
En remplaçant $a_k$ par son expression, j'ai obtenu (calcul à vérifier)
$p_k=\frac{-(\alpha-\beta)^2}{2(2-\alpha -\beta)} \times (\alpha +\beta -1)^{k-1} +\frac{\alpha +\beta -2\alpha \beta}{2-\alpha -\beta}$
$\alpha$ et $\beta$ appartiennent à ]0,1[ donc $\alpha +\beta -1 \in ]-1, 1[$
Par conséquent $\lim_{k\to +\infty} (\alpha +\beta -1)^{k-1}=0$ et $\lim_{k\to +\infty} p_k=\frac{\alpha +\beta -2\alpha \beta}{2-\alpha -\beta}$
3) Si à chaque lancer, le joueur choisit la pièce au hasard, pour chaque lancer, la probabilité d'avoir Pile est $\frac{1}{2} \alpha +\frac{1}{2} \beta$ et c'est donc aussi la limite puisque la suite est alors constante.
$\frac{\alpha +\beta -2\alpha \beta}{2-\alpha -\beta} -\frac{\alpha +\beta}{2}=\frac{(\beta-\alpha)^2}{2(2-\alpha -\beta)}\geq 0$
La limite est donc supérieure dans le premier cas à la limite dans le second cas.
Si $\alpha =\beta$ alors les 2 limites sont égales.
Re: Probabilité révision 05
Bonjour!
Merci pour ton aide! J'étais loin du compte...
C'est un effet un exercice assez compliqué qui est tombé en Agro 2009...
J'ai tout analysé et refait les calculs et je pense avoir compris.
Je le referais dans quelques jours pour vérifier.
En tout cas, merci encore. A bientôt.
Merci pour ton aide! J'étais loin du compte...
C'est un effet un exercice assez compliqué qui est tombé en Agro 2009...
J'ai tout analysé et refait les calculs et je pense avoir compris.
Je le referais dans quelques jours pour vérifier.
En tout cas, merci encore. A bientôt.