Proba révision 04

[Jon83]

Bonjour!
Une urne contient N boules numérotées de 1 à N. On en tire n successivement et sans remise (1<=n<=N). On note k un nombre entier entre 1 et N et i un nombre entier entre 1 et n.
Calculer la probabilité de l'événement "la i-ième boule tirée porte le n°k".

On effectue de la sorte n tirages avec, nécessairement, n<=N. On obtient ainsi un arrangement, c’est-à-dire une série de
n numéros , tous distincts. Le nombre d’arrangements formés de p numéros distincts pris dans U est A(N,n)=n!/(n-p)!
En suite, je ne sais pas comment exprimer l'événement et calculer sa probabilité...
Merci pour votre aide.

.

[Job]

Bonjour

Très simplement, seule nous intéresse la i-ième boule et pour cette boule, il y $N$ choix possibles donc la probabilité pour qu'elle porte un nombre $k$ fixé est $\frac{1}{N}$

[Jon83]

Merci pour ta réponse!
Mais je ne comprends pas: si on tire les boules successivement sans remise, juste avant le ième tirage il reste que N-i+1 boules dans l'urne? Alors comment la probabilité peut être 1/N ?

[Job]

Une autre manière de raisonner.

J'appelle $E$ l'événement la boule $k$ n'a pas été tirée lors des $(i-1)$ premiers tirages.

Le nombre de cas possibles est $(A(N,i-1)=\frac{N!}{[N-(i-1)]!}$.

Le nombre de cas favorables est $A(N-1,i-1)=\frac{(N-1)!}{(N-i)!}$

$P(E)=\frac{(N-1)!}{(N-i)!}\times \frac{[N-(i-1)]!}{N!}=\frac{N-(i-1)}{N}$

Maintenant la probabilité d'obtenir la boule $k$ au tirage $i$ est égale à $\frac{1}{N-(i-1)}$

La probabilité cherchée est donc $\frac{N-(i-1)}{N}\times \frac{1}{N-(i-1)}=\frac{1}{N}$

[Jon83]

OK, je comprends mieux...
Merci pour ces explication détaillées