Probabilité de deux événements successifs?

Aide sur les questions de probabilités.
Trabelsi
Membre
Messages : 1
Inscription : 18 mars 2019, 09:03

Probabilité de deux événements successifs?

Message par Trabelsi » 18 mars 2019, 09:08

Bonjour les amis. qui peut m'aider à résoudre cette question:
Quand on lance une pièce avec une proba d'avoir 50% pile et 50%,face, combien de lancée faut-il attendre en moyenne avant d'avoir deux faces successives?

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Probabilité de deux événements successifs?

Message par Job » 19 mars 2019, 16:00

Bonjour

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour avoir pour la première fois 2 faces consécutifs.
J'appelle $p_n$ la probabilité de $X=n$
Le problème consiste à trouver l'espérance de $X$

$\displaystyle p_2=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ ;\ p_3=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} =\frac{1}{8}$

Soit $\displaystyle n\geq 3$
Si le premier tirage est pile, il sera suivi de $n-1$ lancers jusqu'à obtenir le résultat souhaité.
Si le premier tirage est face alors le second doit être pile (car on est dans le cas $n\geq 3$) et il sera suivi de $n-2$ lancers pour avoir le résultat.
Donc $\displaystyle p_n=\frac{1}{2} \times p_{n-1} +\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times p_{n-2}=\frac{1}{2} p_{n-1} +\frac{1}{4} p_{n-2}$

On est donc en présence d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2.
L'équation caractéristique est $\displaystyle r^2=\frac{1}{2} r +\frac{1}{4}$.
Les racines sont $\displaystyle \frac{1-\sqrt 5}{4}$ et $\displaystyle \frac{1+\sqrt 5}{4}$
$\displaystyle p_n=\alpha (\frac{1-\sqrt 5}{4})^n+\beta (\frac{1+\sqrt 5}{4})^n$

Pour déterminer $\alpha$ et $\beta$ on se sert des valeurs prises pour $n=2$ et $n=3$
Pour $n=2$ on obtient l'équation $\alpha (3-\sqrt 5)+\beta (3+\sqrt 5)=2$
Pour $n=3$ on obtient l'équation $\alpha (2-\sqrt 5) +\beta (2+\sqrt 5)=1$
La résolution du système donne $\displaystyle \alpha =\frac{1+\sqrt 5}{2\sqrt 5}\ ;\ \beta = \frac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5}$

On a donc $\displaystyle p_n=\frac{1+\sqrt 5}{2\sqrt 5}\left(\frac{1-\sqrt 5}{4}\right)^n+\frac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5} \left(\frac{1+\sqrt 5}{4}\right)^n$

$\displaystyle E(X)=\sum np_n=\sum \left [\frac{1+\sqrt 5}{2\sqrt 5}\times n\left(\frac{1-\sqrt 5}{4}\right)^n+\frac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5}\times n \left(\frac{1+\sqrt 5}{4}\right)^n\right]$
Compte tenu de l'égalité $\displaystyle \sum nq^n=\frac{q}{(1-q)^2}$, on obtient :
$\displaystyle E(X)=\frac{\sqrt 5+1}{2\sqrt 5} \times \frac{\frac{1-\sqrt 5}{4}}{(1-\frac{1-\sqrt 5}{4})^2}+\frac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5} \times \frac{\frac{1+\sqrt 5}{4}}{(1-\frac{1+\sqrt 5}{4})^2}$
Ce qui m'a donné (sauf erreur de calcul de ma part) $E(X)=6$
Il faut donc, en moyenne 6 jets pour obtenir 2 faces consécutifs

Répondre