C_{2n}^n

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Job
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C_{2n}^n

Message par Job » 13 avril 2018, 15:25

$C_{2n}^n$ est le nombre de parties de cardinal $n$ dans un ensemble de cardinal $2n$

$C_{2n}^n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$

D'après la formule de Stirling, pour $n$ grand, $n!\simeq \sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n$

Donc $C_{2n}^n \simeq \frac{\sqrt{2\pi(2n)} (\frac{2n}{e})^{2n}}{2\pi n (\frac{n}{e})^{2n}}=\frac{2\sqrt{\pi n}}{2\pi n} \times 2^{2n}=\frac{2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}$

On peut améliorer cette approximation avec $n!=\sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n(1+\frac{1}{12n}+o(\frac{1}{n}))$ et les développements limités.

L'approximation obtenue précédemment est alors multipliée par $\frac{1+\frac{1}{24n}+o(\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{12n}+o(\frac{1}{n}))^2}$
soit $(1+\frac{1}{24n}+o(\frac{1}{n}))\times (1+\frac{1}{12n}+o(\frac{1}{n}))^{-2}=(1+\frac{1}{24n}+o(\frac{1}{n}))\times (1-\frac{1}{6n}+o(\frac{1}{n}))$
$=1-\frac{1}{6n}+\frac{1}{24n}+o(\frac{1}{n})=1-\frac{1}{8n}+o(\frac{1}{n})$ qui est le développement limité de $(1+\frac{1}{4n})^{-\frac{1}{2}}$

On obtient alors comme approximation pour $C_{2n}^n$ :
$2^{2n}\times \frac{1}{\sqrt {\pi n}}\times \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4n})}}=2^{2n}\times \frac{1}{\sqrt{\pi n +\frac{\pi}{4}}}$

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