Nombre de parties

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Job
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Nombre de parties

Message par Job » 13 avril 2018, 14:42

$n$ entier naturel non nul. Montrer que tout ensemble de cardinal $n$ possède autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair.

Soit $k$ entier naturel, $0\leq k \leq n$
Le nombre de parties de l'ensemble, de cardinal $k$ est égal à $C_n^k$

Avec la formule du binôme, $0=(-1+1)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k 1^{n-k}=\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k$

Soit $0=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\cdots + C_n^{2p}-C_n^{2p+1}+\cdots $

On a donc $C_n^0+C_n^2+\cdots +C_n^{2p}+\cdots =C_n^1+C_n^3+\cdots +C_n^{2p+1}+\cdots $

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