Densité Proba

[DaveMaths45]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire sur les densités de probabilité que je n'arrive pas à résoudre.
La voici:
f(x)= $ax^{\frac{1}{\theta} -1}$ si 0<x<1
0 sinon

NB: θ, paramètre réel inconnu, strict positif

1) Trouver a pour que f soit une densité de proba.

$\int_{0}^{1}f(t)dt$ = $\int_{0}^{1} a\:t^{\frac{1}{\theta} -1}dt$
Et ensuite, je suis perdu, j'ai bien compris qu'on doit trouver la primitive de $x^{\frac{1}{\theta} -1}$ et qu'on est dans le cas $x^{n}$ = $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, mais le θ me gêne.
Merci de votre aide

[Job]

Bonjour

$\theta$ est une constante donc une primitive de $t^{\frac{1}{\theta}-1}$ est $\frac{1}{\frac{1}{\theta} -1+1}{t^{\frac{1}{\theta}-1+1}}=\theta t^{\frac{1}{\theta}}$

On doit donc avoir $\left[a\theta t^{\frac{1}{\theta}}\right]_0^1=1$ soit $a\theta =1$ donc $a=\frac{1}{\theta}$

[DaveMaths45]

Ah oui, je me rends compte que ce n'était pas si compliqué. Je vous remercie pour votre aide Job.

Aussi, j'ai une question bonus pour laquelle, je dois trouver l'estimateur du max de vraisemblance de θ mais je bloque car je n'arrive pas à trouver l'estimateur $\displaystyle \widehat{\theta}$.
Je vous soumets donc ma démarche ici:

f(x)= $ax^{\frac{1}{\theta} -1}$ si 0<x<1
0 sinon

1e etape: $\displaystyle L(x_1,\ldots,x_n,θ)$ = $\frac{1}{θ} x_1^{\frac{1}{\theta} -1} * \frac{1}{θ} x_2^{\frac{1}{\theta} -1} * \frac{1}{θ} x_n^{\frac{1}{\theta} -1}$
$\displaystyle L(θ)$ = $(\frac{1}{θ}) * (x_1^{\frac{1}{\theta} -1} + x_2^{\frac{1}{\theta} -1} + x_n^{\frac{1}{\theta} -1})$
$\displaystyle L(θ)$ = $(\frac{1}{θ})^n * \prod_{i=1}^n x_i^{(\frac{1}{\theta} -1)^n}$
propriété : $ln (\frac{1}{a})^n = -n*ln(a)$ et $ln (x^n) = n * ln (x)$ donc:

2e etape: $ln\:\displaystyle L(θ)$ = $-n\:lnθ + ln(\prod_{i=1}^n x_i) * ({\frac{1}{\theta} -1})^n$
propriété : $(ln\:x)' = {\frac{1}{x}}$ et $({\frac{1}{x}})' = {-\frac{1}{x²}}$ donc:
3e etape: $(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = $-n\:*{\frac{1}{θ}} + $$\:0\:$$ * ({-\frac{1}{θ²}} - 0)^n = 0$ (0 car pas de θ)
$(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = ${-\frac{n}{θ}} + 0 * ({-\frac{1}{θ²}})^n= 0$
$(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = ${-\frac{n}{θ}} = 0$
$\displaystyle \widehat{\theta} = ?$
Et arrivé là, je ne sais pas que vaut θ ?
4e etape: $(ln\:\displaystyle L(θ))''_θ = ...$
Merci d'avance pour ton aide, ça m'aidera beaucoup à comprendre cette partie car ce chapitre n'est pas évident

[Job]

Je ne suis pas spécialiste en Statistiques mais je vois que vos calculs présentent des erreurs. Pour que ce soit clair je le reprends entièrement.

$L(\theta)=\prod_{i=1}^n \left(\frac{1}{\theta} x_i^{\frac{1}{\theta}-1}\right)=(\frac{1}{\theta})^n\prod_{i=1}^n x_i^{\frac{1}{\theta}-1}$

$\ln (L(\theta))=-n\ln \theta +\sum_{i=1}^n (\frac{1}{\theta}-1)\ln (x_i) $

$(\ln (L(\theta))'=-\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^n (-\frac{1}{\theta^2})\ln (x_i)=-\frac{n\theta}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n\ln (x_i)$

Donc $(\ln (L(\theta))'=0$ pour $\theta =-\frac{\sum_{i=1}^n \ln (x_i)}{n}$