Bonjour,
J'ai un exercice à faire sur les densités de probabilité que je n'arrive pas à résoudre.
La voici:
f(x)= $ax^{\frac{1}{\theta} -1}$ si 0<x<1
0 sinon
NB: θ, paramètre réel inconnu, strict positif
1) Trouver a pour que f soit une densité de proba.
$\int_{0}^{1}f(t)dt$ = $\int_{0}^{1} a\:t^{\frac{1}{\theta} -1}dt$
Et ensuite, je suis perdu, j'ai bien compris qu'on doit trouver la primitive de $x^{\frac{1}{\theta} -1}$ et qu'on est dans le cas $x^{n}$ = $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, mais le θ me gêne.
Merci de votre aide
Densité Proba
Re: Densité Proba
Bonjour
$\theta$ est une constante donc une primitive de $t^{\frac{1}{\theta}-1}$ est $\frac{1}{\frac{1}{\theta} -1+1}{t^{\frac{1}{\theta}-1+1}}=\theta t^{\frac{1}{\theta}}$
On doit donc avoir $\left[a\theta t^{\frac{1}{\theta}}\right]_0^1=1$ soit $a\theta =1$ donc $a=\frac{1}{\theta}$
$\theta$ est une constante donc une primitive de $t^{\frac{1}{\theta}-1}$ est $\frac{1}{\frac{1}{\theta} -1+1}{t^{\frac{1}{\theta}-1+1}}=\theta t^{\frac{1}{\theta}}$
On doit donc avoir $\left[a\theta t^{\frac{1}{\theta}}\right]_0^1=1$ soit $a\theta =1$ donc $a=\frac{1}{\theta}$
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Re: Densité Proba
Ah oui, je me rends compte que ce n'était pas si compliqué. Je vous remercie pour votre aide Job.
Aussi, j'ai une question bonus pour laquelle, je dois trouver l'estimateur du max de vraisemblance de θ mais je bloque car je n'arrive pas à trouver l'estimateur $\displaystyle \widehat{\theta}$.
Je vous soumets donc ma démarche ici:
f(x)= $ax^{\frac{1}{\theta} -1}$ si 0<x<1
0 sinon
1e etape: $\displaystyle L(x_1,\ldots,x_n,θ)$ = $\frac{1}{θ} x_1^{\frac{1}{\theta} -1} * \frac{1}{θ} x_2^{\frac{1}{\theta} -1} * \frac{1}{θ} x_n^{\frac{1}{\theta} -1}$
$\displaystyle L(θ)$ = $(\frac{1}{θ}) * (x_1^{\frac{1}{\theta} -1} + x_2^{\frac{1}{\theta} -1} + x_n^{\frac{1}{\theta} -1})$
$\displaystyle L(θ)$ = $(\frac{1}{θ})^n * \prod_{i=1}^n x_i^{(\frac{1}{\theta} -1)^n}$
propriété : $ln (\frac{1}{a})^n = -n*ln(a)$ et $ln (x^n) = n * ln (x)$ donc:
2e etape: $ln\:\displaystyle L(θ)$ = $-n\:lnθ + ln(\prod_{i=1}^n x_i) * ({\frac{1}{\theta} -1})^n$
propriété : $(ln\:x)' = {\frac{1}{x}}$ et $({\frac{1}{x}})' = {-\frac{1}{x²}}$ donc:
3e etape: $(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = $-n\:*{\frac{1}{θ}} + $$\:0\:$$ * ({-\frac{1}{θ²}} - 0)^n = 0$ (0 car pas de θ)
$(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = ${-\frac{n}{θ}} + 0 * ({-\frac{1}{θ²}})^n= 0$
$(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = ${-\frac{n}{θ}} = 0$
$\displaystyle \widehat{\theta} = ?$
Et arrivé là, je ne sais pas que vaut θ ?
4e etape: $(ln\:\displaystyle L(θ))''_θ = ...$
Merci d'avance pour ton aide, ça m'aidera beaucoup à comprendre cette partie car ce chapitre n'est pas évident
Aussi, j'ai une question bonus pour laquelle, je dois trouver l'estimateur du max de vraisemblance de θ mais je bloque car je n'arrive pas à trouver l'estimateur $\displaystyle \widehat{\theta}$.
Je vous soumets donc ma démarche ici:
f(x)= $ax^{\frac{1}{\theta} -1}$ si 0<x<1
0 sinon
1e etape: $\displaystyle L(x_1,\ldots,x_n,θ)$ = $\frac{1}{θ} x_1^{\frac{1}{\theta} -1} * \frac{1}{θ} x_2^{\frac{1}{\theta} -1} * \frac{1}{θ} x_n^{\frac{1}{\theta} -1}$
$\displaystyle L(θ)$ = $(\frac{1}{θ}) * (x_1^{\frac{1}{\theta} -1} + x_2^{\frac{1}{\theta} -1} + x_n^{\frac{1}{\theta} -1})$
$\displaystyle L(θ)$ = $(\frac{1}{θ})^n * \prod_{i=1}^n x_i^{(\frac{1}{\theta} -1)^n}$
propriété : $ln (\frac{1}{a})^n = -n*ln(a)$ et $ln (x^n) = n * ln (x)$ donc:
2e etape: $ln\:\displaystyle L(θ)$ = $-n\:lnθ + ln(\prod_{i=1}^n x_i) * ({\frac{1}{\theta} -1})^n$
propriété : $(ln\:x)' = {\frac{1}{x}}$ et $({\frac{1}{x}})' = {-\frac{1}{x²}}$ donc:
3e etape: $(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = $-n\:*{\frac{1}{θ}} + $$\:0\:$$ * ({-\frac{1}{θ²}} - 0)^n = 0$ (0 car pas de θ)
$(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = ${-\frac{n}{θ}} + 0 * ({-\frac{1}{θ²}})^n= 0$
$(ln\:\displaystyle L(θ))'_θ$ = ${-\frac{n}{θ}} = 0$
$\displaystyle \widehat{\theta} = ?$
Et arrivé là, je ne sais pas que vaut θ ?
4e etape: $(ln\:\displaystyle L(θ))''_θ = ...$
Merci d'avance pour ton aide, ça m'aidera beaucoup à comprendre cette partie car ce chapitre n'est pas évident
Re: Densité Proba
Je ne suis pas spécialiste en Statistiques mais je vois que vos calculs présentent des erreurs. Pour que ce soit clair je le reprends entièrement.
$L(\theta)=\prod_{i=1}^n \left(\frac{1}{\theta} x_i^{\frac{1}{\theta}-1}\right)=(\frac{1}{\theta})^n\prod_{i=1}^n x_i^{\frac{1}{\theta}-1}$
$\ln (L(\theta))=-n\ln \theta +\sum_{i=1}^n (\frac{1}{\theta}-1)\ln (x_i) $
$(\ln (L(\theta))'=-\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^n (-\frac{1}{\theta^2})\ln (x_i)=-\frac{n\theta}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n\ln (x_i)$
Donc $(\ln (L(\theta))'=0$ pour $\theta =-\frac{\sum_{i=1}^n \ln (x_i)}{n}$
$L(\theta)=\prod_{i=1}^n \left(\frac{1}{\theta} x_i^{\frac{1}{\theta}-1}\right)=(\frac{1}{\theta})^n\prod_{i=1}^n x_i^{\frac{1}{\theta}-1}$
$\ln (L(\theta))=-n\ln \theta +\sum_{i=1}^n (\frac{1}{\theta}-1)\ln (x_i) $
$(\ln (L(\theta))'=-\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^n (-\frac{1}{\theta^2})\ln (x_i)=-\frac{n\theta}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n\ln (x_i)$
Donc $(\ln (L(\theta))'=0$ pour $\theta =-\frac{\sum_{i=1}^n \ln (x_i)}{n}$