Probabilité

[harith]

Bonjour

Vous pouvez m'aidez à faire ses 2 exercices s'il vous plait ?

[Job]

Bonjour

Je ne sais pas ce que vous avez vu en cours et donc ce que vous avez le droit d'utiliser.

Exercice 17
1. Soit $G$ la fonction de répartition de $Y_1$ et $y\in {\mathbb R}$
- si $y\leq 0$ alors $G(y)=0$
- si $y>0,\ G(y)=P(-\sqrt y \leq X_1\leq \sqrt y)=P(X_1\leq y)-P(X_1\leq -y)=2P(X_1\leq y)-1$
Soit $G(y) = 2F(y)_1- 1=2\int_{-\infty} ^{\sqrt y} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} dt -1$

$Y_1$ a donc pour densité $g(y)=G'(y)=2\times \frac{1}{2 \sqrt y}\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}=\frac{1}{\sqrt {2\pi y}}e^{-\frac{y}{2}}$

Il s'agit de la loi $\chi_1^2$ loi du khi-deux à 1 degré de liberté. C'est aussi la loi Gamma $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

2. Puisque chaque $X_j^2$ suit la loi Gamma $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, $\chi^2$ suit la loi Gamma $(\frac{1}{2},\frac{n}{2})$ de densité $\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2})} y^{\frac{n-2}{2}} e^{-\frac{y}{2}}$
C'est la loi $\chi_n^2$ loi du khi-deux à n degrés de liberté.

3. $E(Y_1)=E(X_1^2)$ or $V(X_1)=E(X_1^2)-(E(X_1))^2$ donc $E(Y_1)=V(X_1)+(E(X_1))^2=1$.
On en déduit $E(\chi^2)=n$

$V(Y_1)=E(Y_1^2)-(E(Y_1))^2=E(Y_1^2)-1$
$E(Y_1^2)=\int_0^{+\infty} y^2g(y)dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{+\infty} y^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{y}{2}} dy$
Avec une intégration par parties, on obtient :
$E(Y_1^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[0+3\int_0^{+\infty}y^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{y}{2}} dy \right]=3E(Y_1)=3$

Donc $V(Y_1)=2$ et $V(\chi_2)=2n$

[harith]

merci beaucoups