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par Job » 06 janvier 2018, 17:27
Bonjour Jean
Quand on a un polynôme dont on veut étudier les racines, on dérive jusqu'à obtenir un polynôme dont on peut étudier le signe.
$f(x)=x^4+6x^2-60x+36$
$f'(x)=4x^3+12x-60$
$f"(x)=12x^2+12$
Là, pas de problème : sur [0 ,4], $f"(x)>0$. On en déduit que $f'$ est une fonction strictement croissante
$f'(0)=-60$ et $f'(4)=244$
$f'$ continue strictement croissante établit une bijection de [0 ,4] sur [-60 , 244].
$0\in [-60, 244]$ donc il existe un réel $x_p\in [0,4]$ tel que $f'(x_p)=0$ et puisque $f'$ est croissante, sur l'intervalle $[0, x_p[,\ f'(x)<0$ et sur l'intervalle $]x_p,4],\ f'(x)>0$
(Je ne sais pas comment, sur ton corrigé, la valeur fractionnaire de $x_p$ a été obtenue. Pour moi, en utilisant la calculatrice, j'ai obtenu $x_p\simeq 2,065$
Connaissant le signe de $f'(x)$, on peut alors établir tableau de variation de $f$. (fait sur ton corrigé)
$f(x_p)<0$ et avec les valeurs de $f(0)>0$ et $f(4)>0$ on obtient l'existence de $x_1$ et $x_2$
En ce qui concerne les valeurs approchées de $x_1$ et $x_2$, il faut utiliser la calculatrice.
Pour savoir si la convergence est linéaire, je ne peux pas beaucoup t'aider (je n'ai pas beaucoup fait d'analyse numérique) mais il me semble que tu as écrit dans un topic précédent, qu'il faut que $(x_{n+1}-x_n)=c_n(x_n-x_{n-1})$ avec $\lim c_n=0$.
Cela nécessite donc de calculer des valeurs successives de la suite.
