Salut job,pour cet exo j'essai de le comprendre le corrigé
Voici le corrigé mais j'ai pas trop compris ceci:
a)f' monotone croissante ??
b)Ils ont trouver x1 et x2 en traçant f sur calculatrice c'est ça?
c)T'a une idée de comment ils savent si c'est une convergence linéaire ou pas,
les itérations c'est des valeurs?
Ferrari
Re: Ferrari
Bonjour Jean
Quand on a un polynôme dont on veut étudier les racines, on dérive jusqu'à obtenir un polynôme dont on peut étudier le signe.
$f(x)=x^4+6x^2-60x+36$
$f'(x)=4x^3+12x-60$
$f"(x)=12x^2+12$
Là, pas de problème : sur [0 ,4], $f"(x)>0$. On en déduit que $f'$ est une fonction strictement croissante
$f'(0)=-60$ et $f'(4)=244$
$f'$ continue strictement croissante établit une bijection de [0 ,4] sur [-60 , 244].
$0\in [-60, 244]$ donc il existe un réel $x_p\in [0,4]$ tel que $f'(x_p)=0$ et puisque $f'$ est croissante, sur l'intervalle $[0, x_p[,\ f'(x)<0$ et sur l'intervalle $]x_p,4],\ f'(x)>0$
(Je ne sais pas comment, sur ton corrigé, la valeur fractionnaire de $x_p$ a été obtenue. Pour moi, en utilisant la calculatrice, j'ai obtenu $x_p\simeq 2,065$
Connaissant le signe de $f'(x)$, on peut alors établir tableau de variation de $f$. (fait sur ton corrigé)
$f(x_p)<0$ et avec les valeurs de $f(0)>0$ et $f(4)>0$ on obtient l'existence de $x_1$ et $x_2$
En ce qui concerne les valeurs approchées de $x_1$ et $x_2$, il faut utiliser la calculatrice.
Pour savoir si la convergence est linéaire, je ne peux pas beaucoup t'aider (je n'ai pas beaucoup fait d'analyse numérique) mais il me semble que tu as écrit dans un topic précédent, qu'il faut que $(x_{n+1}-x_n)=c_n(x_n-x_{n-1})$ avec $\lim c_n=0$.
Cela nécessite donc de calculer des valeurs successives de la suite.
Quand on a un polynôme dont on veut étudier les racines, on dérive jusqu'à obtenir un polynôme dont on peut étudier le signe.
$f(x)=x^4+6x^2-60x+36$
$f'(x)=4x^3+12x-60$
$f"(x)=12x^2+12$
Là, pas de problème : sur [0 ,4], $f"(x)>0$. On en déduit que $f'$ est une fonction strictement croissante
$f'(0)=-60$ et $f'(4)=244$
$f'$ continue strictement croissante établit une bijection de [0 ,4] sur [-60 , 244].
$0\in [-60, 244]$ donc il existe un réel $x_p\in [0,4]$ tel que $f'(x_p)=0$ et puisque $f'$ est croissante, sur l'intervalle $[0, x_p[,\ f'(x)<0$ et sur l'intervalle $]x_p,4],\ f'(x)>0$
(Je ne sais pas comment, sur ton corrigé, la valeur fractionnaire de $x_p$ a été obtenue. Pour moi, en utilisant la calculatrice, j'ai obtenu $x_p\simeq 2,065$
Connaissant le signe de $f'(x)$, on peut alors établir tableau de variation de $f$. (fait sur ton corrigé)
$f(x_p)<0$ et avec les valeurs de $f(0)>0$ et $f(4)>0$ on obtient l'existence de $x_1$ et $x_2$
En ce qui concerne les valeurs approchées de $x_1$ et $x_2$, il faut utiliser la calculatrice.
Pour savoir si la convergence est linéaire, je ne peux pas beaucoup t'aider (je n'ai pas beaucoup fait d'analyse numérique) mais il me semble que tu as écrit dans un topic précédent, qu'il faut que $(x_{n+1}-x_n)=c_n(x_n-x_{n-1})$ avec $\lim c_n=0$.
Cela nécessite donc de calculer des valeurs successives de la suite.
Re: Ferrari
Ok merci tu m'a déja éclairé.Job a écrit :Bonjour Jean
$f'(0)=-60$ et $f'(4)=244$
$f'$ continue strictement croissante établit une bijection de [0 ,4] sur [-60 , 244].
$0\in [-60, 244]$ donc il existe un réel $x_p\in [0,4]$ tel que $f'(x_p)=0$ et puisque $f'$ est croissante, sur l'intervalle $[0, x_p[,\ f'(x)<0$ et sur l'intervalle $]x_p,4],\ f'(x)>0$
(Je ne sais pas comment, sur ton corrigé, la valeur fractionnaire de $x_p$ a été obtenue. Pour moi, en utilisant la calculatrice, j'ai obtenu $x_p\simeq 2,065$
Connaissant le signe de $f'(x)$, on peut alors établir tableau de variation de $f$. (fait sur ton corrigé)
$f(x_p)<0$ et avec les valeurs de $f(0)>0$ et $f(4)>0$ on obtient l'existence de $x_1$ et $x_2$
En ce qui concerne les valeurs approchées de $x_1$ et $x_2$, il faut utiliser la calculatrice.
Pour savoir si la convergence est linéaire, je ne peux pas beaucoup t'aider (je n'ai pas beaucoup fait d'analyse numérique) mais il me semble que tu as écrit dans un topic précédent, qu'il faut que $(x_{n+1}-x_n)=c_n(x_n-x_{n-1})$ avec $\lim c_n=0$.
Cela nécessite donc de calculer des valeurs successives de la suite.
Pour xp,je ne sais pas pour la valeur fractionnaire,mais je suppose que pour xp décimal on fait f'(xp)=0 d'ou 4x^3+12x-60=0
ainsi x(4x^2+12+60/x)=0