Théorie de la décision : Notion de loterie composée

[Ryosuke]

Bonjour , s'il vous plait j'aimerais que vous m'orienter. Voici un exercice que j'essaye de résoudre
Enoncé
Soient deux loteries p=(10,2/3;20,1/3) et q=(10,1/3;20,1/2;30,1/6). Construire q comme une loterie composée avec deux résultats, la loterie p et une loterie r.
Tentative de résolution
Dans cet exercice, il s'agit de la notion de loterie composée . Ce qu'il y a à savoir c'est qu'il y a une propriété qui stipule que si 3 loteries p , q , r , sont classées ainsi: p>q>r, alors il existe α ∈[0 1], tel que : q=αp+(1-α)r. Autrement dit , les loteries simples p et r peuvent être réduite à une loterie composée q telle que: q=(p,α;r,1-α).
Ainsi , comme l'indique notre énoncé , la démarche consiste à exprimer q qui est connu en fonction de p qui l'est aussi ,et une loterie inconnue r en utilisant la propriété q=αp+(1-α)r, ce qui devra nous donner q=(p,α;r,1-α). Donc le véritable but de l'exercice consiste à déterminer α et r à partir des informations que nous avons.
Bien pour cela , on définit d'abord une loterie comme une liste de distribution de conséquences ou valeurs attachée à
une distribution de probabilités . Par exemple , si je définis L=(15, 1/4; 20,3/4) comme étant une loterie, alors 15 et 20 représentent
les conséquences possibles et 1/4 et 3/4 représentent respectivement les probabilités des réalisation de ces conséquences.Nous remarquons aussi que la somme des probabilités associées à ces conséquences est égale à 1 (1/4+3/4).Cette propriété se vérifie dans toute loterie.
Maintenant qu'on a définit ce qu'est une loterie, nous savons désormais que pour notre loterie r nous devons déterminer d'une part ses valeurs et de l'autre les probabilités associées à ces valeurs. Or on sait que la loterie q a 3 valeurs à savoir:10,20,30 et la loterie p en a 2 à savoir :10,20. Questions intermédiaires. Combien de valeur aura la loterie r ? En sachant que la loterie p a 2 valeurs , on peut se dire que la loterie r en aura aussi 2. En admettant que ce sois le cas , comment déterminer ces valeurs ? Oui nous savons qu'une loterie composée est une combinaison de loterie simple.Partant de là , on sait que les valeurs de r sont forcément parmi q. Donc peut être que c'est 10 et 20 ou 20 et 30 ou peut être encore 10 et 30 ....etc. Question non résolue ! Mais continuons ,penchons nous maintenant sur les probabilités associées à ses valeurs . Déjà nous savons que le nombre de probabilités est égale au nombre de valeurs associées à celles-ci. Donc si r a 2 valeurs alors il y aura 2 probabilités affectées à ces valeurs. Maintenant comment détermine t'on ces probabilités ? Aucune réponse. Comment détermine t'on α ? Je ne sais pas. Enfin, pourquoi ces questions et tout cet exposé ?C'est simple , c'est parce que en appliquant simplement la formule , je ne retrouve pas ce qu'on me demande . Asseyons:
q=αp+(1-α)r équivaut à: α(10,2/3;20,1/3)+(1-α)r=(10,1/3;20,1/2;30,1/6) donc je viens d'écrire αp+(1-α)r=q . Par la suite , j'ose même dire sans justification que r doit être une loterie du genre r=(x1,p1;x2,p2). Ce qui nous donne ça : α(10,2/3;20,1/3)+(1-α)(x1,p1;x2,p2)=(10,1/3;20,1/2;30,1/6). Quant à la résolution de cette équation , je n'ai aucune idée.
Merci d'avance pour vos remarques

[Dlzlogic]

Bonjour,
Votre problème est bien expliqué, mais j'ai tout de même une question, les conséquences, c'est à dire dans le cas présent 10, 20 et 30, sont-ils des nombres, c'est à dire que que l'on pourrait écrire 30 = 10 + 20 , en ce cas, on peut définir les espérances pour p E1 = 10x2/3 et E2 = 20 x 1/3 etc. ? Le signe x étant bien une multiplication. Je pense que oui, mais pouvez-vous me le confirmer ?
Auquel cas il y a les variables 'a' et les 4 termes de r.
Il faudrait donc écrire 5 équations linéaires dont la somme des probabilités de r = 1, par identification des différents termes de la formule q = ...
C'est à dire que cette formule est vraie si les espérances à droite et à gauche sont égales.