Deux cartes pour 5 personnes.

[Dlzlogic]

Ce que tu ne sais pas, c'est que les valeurs ayant servi à calculer la moyenne vont de 2 à 66. Alors, c'est juste une bonne vérification de la loi des grands nombre : la moyenne tend vers la probabilité. Il est vrai que la probabilité de la moyenne est proche de 12, personne n'a dit le contraire.
Quant à l'écart-type, il n'a de sens que pour une distribution à peu près symétrique, ce qui n'est manifestement par le cas.
Mais si tu es sûr d'avoir raison, tout va bien.

[magnolia86]

L'écart-type existe et a du sens, même si la distribution n'est pas symétrique. Et c'est bien le cas avec l'expérience ici.

Les résultats de l'expérience peuvent être tous les entiers supérieurs ou égaux à 2.
Pourquoi la limite supérieure 66 ?
On peut très bien avoir un résultat supérieur à 66 car $P(X > 66) > 0.001$
Avec une simulation sur 10000 essais , on est quasi-certain de dépasser cette limite 66 au moins une fois.

[Dlzlogic]

Pourquoi la limite supérieure 66 ?
On peut très bien avoir un résultat supérieur à 66 car P(X>66)>0.001

Avec une simulation sur 10000 essais , on est quasi-certain de dépasser cette limite 66 au moins une fois.

Pour calculer cela, tu as utilisé les formules liées à la loi normale Oui ou Non.
Si c'est OUI, alors la visu de la répartition n'est pas vraiment celle de la loi normale.
Si c'est NON, alors d'où viennent ces formules de calcul ?
[MP] Je te connais suffisamment pour savoir que tu ne réponds pas dans le but de faire avancer les choses, mais uniquement pour me contrer. [/MP]

[magnolia86]

C'est totalement élémentaire, et rien à voir avec la loi normale :
$P(X > 66) > 0.001$
donc $P(X \leq 66) < 0.999$
donc $P(X \leq 66) ^{10000} < 0.0001$
donc la probabilité d'obtenir au moins une fois X > 66 sur 10000 essais est supérieure à 0.9999 ,
donc obtenir au moins une fois X > 66 est quasi-certain par une simulation sur 10000 essais.

[Dlzlogic]

Sauf un petit détail, ces grands nombres de tours je les ai obtenus sur des simulation à 100 jeux.
Ci dessous, les deux dernières de la série (entre-temps j'avais rajouté l'impression des min et max :

Code : Tout sélectionner

Résultat multiple de 2 ballons pour 5 personnes
Nombre = 100  Moyenne = 13.18  emq=10.31  ep=6.87
Médiane = 10   min= 2  max=66
Classe 1  nb=   0  0.00%  	théorique 0.35%	 |
Classe 2  nb=   0  0.00%  	théorique    2%	 |
Classe 3  nb=   0  0.00%  	théorique    7%	 |
Classe 4  nb=  28  28.00%  	théorique   16%	 |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  35  35.00%  	théorique   25%	 |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  19  19.00%  	théorique   25%	 |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=   6  6.00%  	théorique   16%	 |HHHHHH
Classe 8  nb=   7  7.00%  	théorique    7%	 |HHHHHHH
Classe 9  nb=   4  4.00%  	théorique    2%	 |HHHH
Classe 10 nb=   1  1.00%  	théorique 0.35%	 |H

Résultat multiple de 2 ballons pour 5 personnes
Nombre = 100  Moyenne = 10.89  emq=8.37  ep=5.58
Médiane = 8   min= 2  max=44
Classe 1  nb=   0  0.00%  	théorique 0.35%	 |
Classe 2  nb=   0  0.00%  	théorique    2%	 |
Classe 3  nb=   0  0.00%  	théorique    7%	 |
Classe 4  nb=  30  30.00%  	théorique   16%	 |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  33  33.00%  	théorique   25%	 |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  20  20.00%  	théorique   25%	 |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=   6  6.00%  	théorique   16%	 |HHHHHH
Classe 8  nb=   3  3.00%  	théorique    7%	 |HHH
Classe 9  nb=   7  7.00%  	théorique    2%	 |HHHHHHH
Classe 10 nb=   1  1.00%  	théorique 0.35%	 |H

Pour information, je rappelle que cette répartition par classe et les valeurs théoriques indiquées sont celles de la loi normale. Donc, manifestement ces n'ont pas une répartition normale, mais rien n'interdit de calculer une moyenne arithmétique des résultats, un écart moyen quadratique qui n'a pas grand intérêt et qui ne mérite sûrement pas le qualificatif d'écart-type.

[magnolia86]

manifestement ces n'ont pas une répartition normale

oui, c'était évident puisque la loi de probabilité est comme suit (après calcul) :

La loi de probabilité de l'arrêt au n-ième tour est
$P(X = n) =
\Big( \left( 5+\sqrt {5} \right) ^{n} (\sqrt {5}-1)
- \left( 5-\sqrt {5} \right) ^{n} (\sqrt {5}+1) \Big) / (10. 8^n)$

Nombre = 100 Moyenne = 11.79 emq=10.31
Nombre = 100 Moyenne = 13.18 emq=10.31
Nombre = 100 Moyenne = 10.89 emq=8.37

Merci pour toutes ces simulations qui confirment mes affirmations :

L'expérience a une espérance de e=12 et un écart-type de s=10

Si on fait une simulation sur n=100 parties, on aura une moyenne statistique très probablement comprise entre 10 et 14 (intervalle de fluctuation $e \pm 2 s / \sqrt n$ ).

Preuve que la théorie est très efficace (normale, sinon cette théorie ne serait pas développée et enseignée).

[Dlzlogic]

Oh oui, tu as raison.
Alors moi je parie que je gagne si le jeu se termine avec un nombre de tours inférieur ou égal à 9 et je gagne presque sûrement.
Tu es d'accord ou pas ? C'est la question posée et non pas un calcul de moyenne.

[magnolia86]

Au premier message, la question posée était :

On appelle NB le nombre de tours nécessaires.
La question posée est de calculer NB moyen.

et la réponse est "NB moyen" = 12. Le calcul théorique le prouve (l'espérance vaut 12), et les simulations le confirment.

Alors moi je parie que je gagne si le jeu se termine avec un nombre de tours inférieur ou égal à 9 et je gagne presque sûrement.
Tu es d'accord ou pas ?

J'ai déjà répondu hier en écrivant $P( X \leq 9 ) \simeq 0.525$ (après un calcul théorique exact qui aboutit à $P(X \leq 9) = 137769 / 262144$ ).
Bref, il est alors évident que parier sur l'arrêt du jeu au tour n°9 ou avant est (légèrement) avantageux : 52.5% contre 47.5%

Comme $P(X \leq 9)$ et $P(X \geq 9)$ sont supérieurs à 0.5, alors statistiquement 9 = "NB médian".

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pas mal pour un nouveau participant, non spécialiste des probas, d'avoir résolu le problème en seulement 8 messages, alors qu'au bout de deux pages, sur le forum de la question d'origine, les meilleurs spécialistes ne paraissent par vraiment d'accord entre eux.
Bonne continuation.

[magnolia86]

J'avais déjà donné les résultats dès mon premier message : espérance $E(X)=12$ , et $P(X \leq 9) \simeq 0.525$.
Cela dit, je n'ai pas de mérite particulier, c'est tout à fait classique (chaîne de Markov, matrice de transition, etc.)

Par ailleurs, les échanges sur l'autre forum n'est concernent pas le résultat (tout le monde est d'accord sur E(X)=12), mais la discussion porte sur les démonstrations que chaque intervenant propose.