Bonjour
Vous pouvez m'aidez s'il vous plait je ne comprend rien au exercice .
Probabilité
Probabilité
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Re: Probabilité
Bonjour
Exercice 8
Pour tout $i$, $P(A_i)=\frac{1}{6}$
Quand on lance 2 fois le dé, le nombre de cas possibles est 6 x 6 =36. Les cas qui donnent une somme de 7 sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) donc $P(S)=\frac{6}{36} =\frac{1}{6}$
Il y a un seul cas qui donne $i$ au premier lancer avec une somme de 7 donc $P(A_i\cap S)=\frac{1}{36}$
$P(A_i)\times P(S)=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} =\frac{1}{36}=P(A_i\cap S)$ donc les événements $A_i$ et $S$ sont indépendants.
Il y a 3 cas qui donnent une somme de 4 : (1,3), (2,2), (3,1) donc $P(S')=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
Si $i\in \{1,2,3\}, P(A_i\cap S')=\frac{1}{36}$
Si $i\in \{4,5,6\}, P(A_i\cap S')=0$
$P(A_i)\times P(S')=\frac{1}{6} \times \frac{1}{12}=\frac{1}{72}$ donc $P(A_i)\times P(S')\neq P(A_i\cap S')$ et par conséquent les événements ne sont pas indépendants.
Exercice 9
Commencez par faire un arbre : au départ 3 branches A, B, C et chaque branche ramifiée en I et $\bar I$
(a) $P(A)=0,2\ ;\ P(B)=0,3\ ;\ P(C)=0,5$
$P(I)=P(I\cap A)+P(I\cap B)+P(I\cap C)$
$P(I)=P(I/A)\times P(A) +P(I/B)\times P(B) +P(I/C)\times P(C)$
Donc $P(I)=0,05\times 0,2 +0,04\times 0,3 +0,01\times 0,5=0,027$
(b) $P(A/I)=\frac{P(A\cap I}{P(I)}=\frac{0,05\times 0,2}{0,027}=\frac{0,010}{0,027}=\frac{10}{27}$
(c) On cherche $P(C/\bar I)=\frac{P(C\cap \bar I)}{P(\bar I)}=\frac{0,99\times 0,5}{1-0,027}=\frac{0,495}{0,973}\simeq 0,51$
Exercice 8
Pour tout $i$, $P(A_i)=\frac{1}{6}$
Quand on lance 2 fois le dé, le nombre de cas possibles est 6 x 6 =36. Les cas qui donnent une somme de 7 sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) donc $P(S)=\frac{6}{36} =\frac{1}{6}$
Il y a un seul cas qui donne $i$ au premier lancer avec une somme de 7 donc $P(A_i\cap S)=\frac{1}{36}$
$P(A_i)\times P(S)=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} =\frac{1}{36}=P(A_i\cap S)$ donc les événements $A_i$ et $S$ sont indépendants.
Il y a 3 cas qui donnent une somme de 4 : (1,3), (2,2), (3,1) donc $P(S')=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
Si $i\in \{1,2,3\}, P(A_i\cap S')=\frac{1}{36}$
Si $i\in \{4,5,6\}, P(A_i\cap S')=0$
$P(A_i)\times P(S')=\frac{1}{6} \times \frac{1}{12}=\frac{1}{72}$ donc $P(A_i)\times P(S')\neq P(A_i\cap S')$ et par conséquent les événements ne sont pas indépendants.
Exercice 9
Commencez par faire un arbre : au départ 3 branches A, B, C et chaque branche ramifiée en I et $\bar I$
(a) $P(A)=0,2\ ;\ P(B)=0,3\ ;\ P(C)=0,5$
$P(I)=P(I\cap A)+P(I\cap B)+P(I\cap C)$
$P(I)=P(I/A)\times P(A) +P(I/B)\times P(B) +P(I/C)\times P(C)$
Donc $P(I)=0,05\times 0,2 +0,04\times 0,3 +0,01\times 0,5=0,027$
(b) $P(A/I)=\frac{P(A\cap I}{P(I)}=\frac{0,05\times 0,2}{0,027}=\frac{0,010}{0,027}=\frac{10}{27}$
(c) On cherche $P(C/\bar I)=\frac{P(C\cap \bar I)}{P(\bar I)}=\frac{0,99\times 0,5}{1-0,027}=\frac{0,495}{0,973}\simeq 0,51$
Re: Probabilité
Exercice 10
Soit $M$ l'événement "la personne est malade" et $T$ l'événement "le test est positif"
Le texte donne : $P(T/M)=0,99\ ;\ P(T/\overline M)=0,02\ ;\ P(M)=0,001$
On cherche $P(M/T)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}$
$P(M\cap T)=P(T/M)\times P(M)=0,99\times 0,001=0,00099$
D'après la formule des probabilités totales :
$P(T)=P(T/M)\times P(M)+P(T/\overline M)\times P(\overline M)=0,00099+0,02\times (1-0,001)=0,02097$
On a donc $P(M/T)=\frac{0,00099}{0,02097}\simeq 0,047$
Exercice 11
Soit les événements $F$ : "l'entreprise fait faillite" , $P$ : "l'entreprise est une PME" , $G$ : "l'entreprise est une grande entreprise"
Le texte donne : $P(G)=0,3$ donc $P(P)=0,7$ , $P(F/G)=0,01$ , $P(F/P)=0,05$
On cherche $P(P/F)=\frac{P(P\cap F)}{P(F)}$
L'exercice est très semblable au précédent, je vous le laisse terminer.
Soit $M$ l'événement "la personne est malade" et $T$ l'événement "le test est positif"
Le texte donne : $P(T/M)=0,99\ ;\ P(T/\overline M)=0,02\ ;\ P(M)=0,001$
On cherche $P(M/T)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}$
$P(M\cap T)=P(T/M)\times P(M)=0,99\times 0,001=0,00099$
D'après la formule des probabilités totales :
$P(T)=P(T/M)\times P(M)+P(T/\overline M)\times P(\overline M)=0,00099+0,02\times (1-0,001)=0,02097$
On a donc $P(M/T)=\frac{0,00099}{0,02097}\simeq 0,047$
Exercice 11
Soit les événements $F$ : "l'entreprise fait faillite" , $P$ : "l'entreprise est une PME" , $G$ : "l'entreprise est une grande entreprise"
Le texte donne : $P(G)=0,3$ donc $P(P)=0,7$ , $P(F/G)=0,01$ , $P(F/P)=0,05$
On cherche $P(P/F)=\frac{P(P\cap F)}{P(F)}$
L'exercice est très semblable au précédent, je vous le laisse terminer.