Dm proba

[rajae.s]

Un jeu consiste à déplacer un jeton autour des sommets d'un carré AGBP à l'aide d'un dé. À chaque tour,le joueur lance le dé et déplace le jeton du nombre de sommets donné par le dé, dans le sens horaire ; le joueur joue jusqu'à tomber sur G, et alors il a gagné, ou jusqu'à tomber sur P , auquel cas il a perdu. Le joueur J choisit de partir du sommet A, et le joueur J′ du sommet B . Considérons les événements :
• An (resp. Bn, Pn, Gn) : après n lancers du dé, le joueur J se trouve en A (resp. en B , en P , en
G) .
On note an, bn, pn, gn les probabilités des événements respectifs.
• GJ (resp. GJ′ ) : le joueur J (resp. J′) finit par gagner
1. Calculer a1, a2, b1, b2, g1, g2, p1 et p2 .
2. a) Démontrer soigneusement que pour tout entier n ∈ N∗:
an+1 =1/6an +1/3bn et bn+1 =1/3an +1/6bn
b) Reconnaître la nature des suites (an + bn) et (an − bn). En déduire les expressions explicites de an
et bn pour tout entier n ∈ N∗
.
3. Exprimer, pour tout n ∈ N∗, gn en fonction de an−1 et bn−1 . En déduire :
∀n ∈ N∗, gn =(1/2)^n+1-1/2(-1/6)^n
4. Calculer alors la probabilité P(GJ). On commencera par exprimer l'événement GJ en fonction des
événements Gn.
5. Calculer par une méthode similaire, la probabilité que le joueur J finisse par perdre.
6. Quelle est la probabilité que la partie du joueur J ne se termine jamais ?
7. On veut ici calculer P(GJ) par une autre méthode.
a) En appliquant la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements associé au
premier déplacement du joueur, montrer que :
5/6P(GJ ) = 1/3PB1(GJ ) + 1/3
Prouver de même :
P(GJ′) = 2/5PA1(GJ′) + 1/5

bonjour je suis coincée pour ces questions est-il possible de m'expliquer merci d'avance

[Job]

Bonjour

1. Après 1 lancer, pour que le joueur se retrouve en A, on doit avoir obtenu 4 avec le dé donc $a_1=\frac{1}{6}$
Après 2 lancers, pour se retrouver en A, le joueur doit s'être retrouvé en B ou en A après le premier lancer (en G ou en P la partie serait terminée au premier lancer) donc les cas favorables sont (2,2), (2,6), (6,2) , (6,6), (4,4) soit $a_2=\frac{5}{36}$

Pour être en B, après un lancer, il faut obtenir 2 ou 4 donc $b_1=\frac{2}{6}$
Cas favorables pour être en B après 2 lancers : (4,2), (4,6), (2,4), (6,4) soit $b_2=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

On gagne au premier lancer si le dé donne 1 ou 5 soit $g_1=\frac{2}{6} =\frac{1}{3}$
Pour gagner au second lancer, il faut être en A ou B au premier lancer donc cas favorables (4,1), (4,5), (2,3), (6,3) soit $g_2=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

On perd au premier lancer, si on a obtenu 3 donc $p_1=\frac{1}{6}$
Cas favorables pour perdre au second lancer : (4,3), (2,1), (2,5), (6,1), (6,5) donc $p_2=\frac{5}{36}$

2. a) Pour être en A, au lancer (n+1), il ne faut pas avoir gagné ou perdu au lancer précédent donc il faut être en A ou B. On a donc par la formule des probabilités totales :
$P(A_{n+1})=P(A_{n+1}\cap A_n)+P(A_{n+1}\cap B_n)=P_{A_n}(A_{n+1})\times P(A_n)+P_{B_n}(A_{n+1})\times P(B_n)$
Soit $P(A_{n+1})=\frac{1}{6} a_n+\frac{2}{6} b_n=a_{n+1}$

De même $P(B_{n+1})=P(B_{n+1}\cap A_n)+P(B_{n+1}\cap B_n)=P_{A_n}(B_{n+1})\times P(A_n)+P_{B_n}(B_{n+1})\times P(B_n)$
$b_{n+1}=\frac{2}{6} a_n+\frac{1}{6} b_n$

b) $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2} a_n +\frac{1}{2} b_n=\frac{1}{2} (a_n+b_n)$ : suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$

$a_{n+1}-b_{n+1}=-\frac{1}{6} a_n+\frac{1}{6} b_n=-\frac{1}{6} (a_n-b_n)$ : suite géométrique de raison $(-\frac{1}{6})$

$a_1+b_1=\frac{1}{2}$ donc $a_n+b_n=(\frac{1}{2})^n$
$a_1-b_1=-\frac{1}{6}$ donc $a_n-b_n=(-\frac{1}{6})^n$

On en déduit : $a_n=(\frac{1}{2})^{n+1}+\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{6})^n$ et $b_{n+1}=(\frac{1}{2})^{n+1}-\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{6})^n$

[Job]

Suite

3. Avec le même raisonnement que dans la question 2.a) :
$P(G_n)=P(G_n\cap A_{n-1})+P(G_n\cap B_{n-1})=P_{A_{n-1}}(G_n)\times P(A_{n-1})+P_{B_{n-1}}(G_n)\times P(B_{n-1})$
$g_n=\frac{2}{6} a_{n-1}+\frac{1}{6} b_{n-1}$

En utilisant les résultats de la question 2; b) :
$g_n=\frac{2}{6} [(\frac{1}{2})^n+\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{6})^{n-1}]+\frac{1}{6} [(\frac{1}{2})^n-\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{6})^{n-1}]$
$g_n=(\frac{1}{2})^{n+1}+\frac{1}{12} \times (-\frac{1}{6})^{n-1}=(\frac{1}{2})^{n+1}-\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{6})^n$

4. $G_J=\bigcup_{n\geq 1} G_n$ et les événements $G_n$ sont deux à deux incompatibles donc
$P(G_J)=\sum_{n\geq 1} [(\frac{1}{2})^{n+1}-\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{6})^n]$
$P(G_J)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{6})\times \frac{1}{1-(-\frac{1}{6})}=\frac{1}{2}+\frac{1}{14}=\frac{4}{7}$

5. J'ai obtenu $p_n=(\frac{1}{2})^{n+1}+\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{6})^n$
$P(P_J)=\sum_{n\geq 1}[(\frac{1}{2})^{n+1}+\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{6})^n]$
$P(P_J)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{6})\times \frac{1}{1-(-\frac{1}{6})}=\frac{1}{2}-\frac{1}{14}=\frac{3}{7}$

6. D'après les questions 4 et 5 la probabilité que la partie du joueur J ne finisse jamais est donc nulle.

7. Je ne suis pas sûre de l'écriture, est-ce bien : $\frac{5}{6} P(G_J)=\frac{1}{3}P_{B_1}(G_J)+\frac{1}{3}$ et $P(G_{J'})=\frac{2}{5} P_{A_1}(G_{J'})+\frac{1}{5}$ et Y-a-t-il une suite à la question ?

[rajae.s]

merci beaucoup, mais je ne comprends pas pourquoi pour la question 2b vous dîtes que an+1=1/2an+1/2bn alors que précédemment vous dîtes que an+1=1/6an+1/3bn

[Job]

merci beaucoup, mais je ne comprends pas pourquoi pour la question 2b vous dîtes que an+1=1/2an+1/2bn alors que précédemment vous dîtes que an+1=1/6an+1/3bn

C'est une faute de frappe, j'ai oublié le $b_{n+1}$ , d'après les résultats précédents c'est $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2} a_n+\frac{1}{2} b_n$
(je vais corriger dans mon message précédent)

[rajae.s]

Merci