exercices de probabilité

[bobra]

bonjour besoin d'aide svp

[Job]

Bonjour

1) $P(B/A)=\frac{1}{2}$ et $P(B/A)=\frac{P(A\cap B}{P(A)}$ donc $P(A\cap B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
$P(A/B)=\frac{P(A\cap B}{P(B)}$ donc $P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A/B)}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

$P(A)\times P(B)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}=P(A\cap B)$ donc $A$ et $B$ sont des événements indépendants.

3) (À prendre avec réserves)
Soit $\omega \in \Omega$, $1_X(\omega)=\left\{\begin{array}{rcl}1\ si\ \omega\in A\\0\ si\ \omega\notin A\end{array}\right.$ et $1_Y(\omega)=\left\{\begin{array}{rcl}1\ si\ \omega\in B\\0\ si\ \omega\notin B\end{array}\right.$

Donc $X^2+Y^2=1$ si $\omega \in A\cap \bar B$ ou $\omega \in \bar A \cap B$
Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, il en est de même de $A$ et $\bar B$ et de $\bar A$ et $B$
$P(A\cap \bar B)=P(A)\times P(\bar B)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$ et $P(\bar A \cap B)=P(\bar A) \times P(B)=\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$
$P[(A\cap \bar B)\cup (\bar A\cap B)]=P(A\cap \bar B)+P(\bar A\cap B)-P(A\cap \bar B \cap \bar A \cap B)=\frac{1}{8} +\frac{3}{8} -0=\frac{1}{2}$
Donc $P(X^2+Y^2=1)=\frac{1}{2}$

$X^2Y^2=XY \Longleftrightarrow XY(XY-1)=0$ soit $1_X=0$ ou $1_Y=0$ ou $1_X=1Y+1$
Soit $\omega \in \bar A$ ou $\omega \in \bar B$ ou $\omega\in A\cap B$
$P[\bar A \cup \bar B\cup (A\cap B)]=P(\bar A)+P(\bar B)+P(A\cap B)-P(\bar A \cap \bar B)-P(\bar A \cap (A\cap B)]-P[\bar B \cap (A\cap B)]+P[\bar A \cap \bar B \cap (A\cap B)]$
$=\frac{3}{4}+\frac{1}{2} +\frac{1}{8} -\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} -0-0+0=1$
$P(X^2Y^2=XY)=1$