Dénombrement couple de variables

Aide sur les questions de probabilités.
bonnie
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Dénombrement couple de variables

Message par bonnie » 18 novembre 2019, 14:32

Bonjour,
Pourriez-vous m'apporter votre aide (corriger mes réponses) pour l'exercice suivant:

On pioche 5 boules blanches dans l'urne 1 contenant des boules numérotées de 1 à 50 et 2 boules noires dans l'urne 2 contenant des boules numérotées de 1 à 12.
Un joueur coche 5 numéros pour les boules blanches (X) et 2 numéros pour les boules noires (Y). Il gagne s'il a au moins 2 bons numéros pour les boules blanches ou au moins 2 numéros pour les boules noires.

1) combien de tirages différents possibles?
N=(5 parmi 50)*(2 parmi 12)
2) probabilité de cocher 5 numéros pour les boules blanches et 2 numéros pour les boules noires?
P(X=5 inter Y=2)=((5 parmi 50)*(2 parmi 12))/(7 parmi 62)
3) probabilité de cocher 3 numéros pour les boules blanches et 1 numéros pour les boules noires?
P(X=3 inter Y=1)=((3 parmi 50)*(1 parmi 12))/(7 parmi 62)
4) probabilité de cocher 0 numéros pour les boules blanches et 2 numéros pour les boules noires?
P(X=0 inter Y=2)=(2 parmi 12)/(7 parmi 62)
5) probabilité que le joueur gagne?
P(X>=2 union Y=2)=(2 parmi 50)/(7 parmi 62) + ((2 parmi 50)*(1 parmi 12))/(7 parmi 32) + ((2 parmi 50)*(2 parmi12))/(7 parmi 62) + (3 parmi 50)/(7 parmi 62) + ((3 parmi 50)*(1 parmi 12))/(7 parmi 62) + ((3 parmi 50)*(2 parmi 12))/(7 parmi 62) +(4 parmi 50)/(7 parmi 62) + ((4 parmi 50)*(1 parmi 12))/(7 parmi 62) + ((4 parmi 50)*(2 parmi 12))/(7 parmi 62) + (5 parmi 50)/(7 parmi 62) + ((5 parmi 50)*(1 parmi 12))/(7 parmi 62) + ((5 parmi 50)*(2 parmi 12))/(7 parmi 62) + (2 parmi 12)/(7 parmi 62) + ((1 parmi 50)*(2 parmi 12))/(7 parmi 62)
(c'est peut être supérieur à 1)

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Re: Dénombrement couple de variables

Message par Job » 18 novembre 2019, 16:14

Bonjour

D'accord pour la réponse à la question 1.

Ensuite c'est faux : 62 n'a pas de signification car les urnes sont séparées.

Pour pouvoir répondre, il faut la précision : qu'appelle-t-on un bon numéro ?

bonnie
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Re: Dénombrement couple de variables

Message par bonnie » 18 novembre 2019, 16:27

Les bons numéros sont les numéros cochés par le joueur.

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Re: Dénombrement couple de variables

Message par Job » 19 novembre 2019, 12:03

Cela n'a pas de sens, si les bons numéros sont ceux cochés par le joueur alors il gagne automatiquement.

Avez-vous recopié entièrement le texte ? Pouvez-vous le scanner ou le photographier ?

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Re: Dénombrement couple de variables

Message par bonnie » 19 novembre 2019, 12:32

Le joueur coche 5 numéros sur une grille allant de 1 à 50 et coche 2 numéros sur une grille allant de 1 à 12. Puis il pioche 5 boules blanches numérotées de 1 à50 dans l'urne 1 et 2 boules noires numérotées de 1 à12 dans l'une 2. Ce tirage est le tirage gagnant.
Le joueur lui gagne s'il a coché au moins 2 bon numéros pour les boules blanches ou au moins les 2 bons numéros pour les boules noires.

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Re: Dénombrement couple de variables

Message par Job » 19 novembre 2019, 16:41

D'accord, saintement c'est clair.

2) Probabilité de cocher les 5 bons numéros pour les boules blanches : $\displaystyle \frac{1}{{50\choose 5}}$

Probabilité de cocher les 2 bons numéros pour les boules noires : $\displaystyle \frac{1}{{12\choose 2}}$

Comme les tirages boules blanches et boules noires sont indépendants :
$\displaystyle P[(X=5)\cap (Y=2)]=\frac{1}{{50\choose 5}}\times \frac{1}{{12\choose 2}}=\frac{1}{N}$

3) Pour l'urne aux boules blanches, il faut avoir coché 3 numéros parmi les 5 bons numéros et 2 numéros parmi les 45 autres.
$\displaystyle P(X=3)=\frac{{5\choose 3}\times {45\choose 2}}{{50\choose 5}}$

Pour l'urne aux boules noires, il faut avoir coché 1 numéro parmi 2 bons numéros et 1 numéro parmi les 10 autres
$\displaystyle P(Y=1)=\frac{{2\choose 1} \times {10\choose 1}}{12\choose 2}$

$P[(X=3)\cap (Y=1)]=P(X=3)\times P(Y=1)$

4) Même raisonnement.
$\displaystyle P(X=0)=\frac{45\choose 5}{50\choose 5}$ et $\displaystyle P(Y=2) =\frac{1}{12\choose 2}$

5) Il est plus rapide de calculer les probabilités des cas perdants puis ensuite faire la soustraction à 1
Cas perdants : $\displaystyle (X=0\cap Y=0) ; (X=0\cap (Y=1) ; (X=1\cap (Y=0) ; (X=1\cap (Y=1)$

bonnie
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Re: Dénombrement couple de variables

Message par bonnie » 20 novembre 2019, 10:42

Merci!

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