Bonjour a tous,j ai publie une annonce ci dessous mais je me suis trompe de piece jointe,neamoins sa ma permis de oir ci j aais bon ou pas.Je suis touours bloque sur la serie de fourrier de l exercice 1 de cette image ci jointe pourrier vous m aidez s il vous plait ?
Merci beaucoup
Sujet Serie de Fourrier,Transforme de Laplace et Fourrier
Sujet Serie de Fourrier,Transforme de Laplace et Fourrier
- Pièces jointes
-
- 12472583_1090030307724287_4603173560124778818_n.jpg (32.8 Kio) Consulté 3683 fois
Re: Sujet Serie de Fourrier,Transforme de Laplace et Fourrie
Bonjour
$a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^t cos (nt) dt$
Calcul de l'intégrale avec une première intégration par parties en dérivant le cosinus
$\int_{-\pi}^{\pi}e^t cos (nt) dt=\left[e^t\cos (nt)\right]_{-\pi}^{\pi}+n \int_{-\pi}^{\pi} e^t \sin (nt) dt$
$=(e^{\pi}(-1)^n-e^{-\pi}(-1)^n)+n\int_{-\pi}^{\pi} e^t \sin (nt) dt$
Calcul de la seconde intégrale avec une intégration par parties en dérivant le sinus (sinon on tourne en rond)
$\int_{-\pi}^{\pi} e^t \sin (nt) dt=\left[e^t\sin (nt)\right]_{-\pi}^{+\pi}-n\int_{-\pi}^{\pi} e^t \cos (nt) dt=0 -n(\pi a_n)$
En regroupant les résultats :
$a_n= \frac{1}{\pi}\left((-1)^n(e^{\pi}-e^{-\pi})-n^2(\pi a_n)\right)=\frac{(-1)^n}{\pi} (e^{\pi}-e^{-\pi})-n^2 a_n$
$a_n(1+n^2)=\frac{(-1)^n}{\pi}(2\sinh(\pi))$ soit $a_n=2\frac{\sinh(\pi)}{\pi}\ \frac{(-1)^n}{1+n^2}$
Je n'ai pas le temps de poursuivre, le calcul de $b_n$ se fait de la même manière.
J'essaierai de voir la suite plus tard.
$a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^t cos (nt) dt$
Calcul de l'intégrale avec une première intégration par parties en dérivant le cosinus
$\int_{-\pi}^{\pi}e^t cos (nt) dt=\left[e^t\cos (nt)\right]_{-\pi}^{\pi}+n \int_{-\pi}^{\pi} e^t \sin (nt) dt$
$=(e^{\pi}(-1)^n-e^{-\pi}(-1)^n)+n\int_{-\pi}^{\pi} e^t \sin (nt) dt$
Calcul de la seconde intégrale avec une intégration par parties en dérivant le sinus (sinon on tourne en rond)
$\int_{-\pi}^{\pi} e^t \sin (nt) dt=\left[e^t\sin (nt)\right]_{-\pi}^{+\pi}-n\int_{-\pi}^{\pi} e^t \cos (nt) dt=0 -n(\pi a_n)$
En regroupant les résultats :
$a_n= \frac{1}{\pi}\left((-1)^n(e^{\pi}-e^{-\pi})-n^2(\pi a_n)\right)=\frac{(-1)^n}{\pi} (e^{\pi}-e^{-\pi})-n^2 a_n$
$a_n(1+n^2)=\frac{(-1)^n}{\pi}(2\sinh(\pi))$ soit $a_n=2\frac{\sinh(\pi)}{\pi}\ \frac{(-1)^n}{1+n^2}$
Je n'ai pas le temps de poursuivre, le calcul de $b_n$ se fait de la même manière.
J'essaierai de voir la suite plus tard.
Re: Sujet Serie de Fourrier,Transforme de Laplace et Fourrie
Même méthode pour le calcul de $b_n$ , on trouve $b_n =-na_n$
La régularisée de $f$ est $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt))$
Soit : $\frac{\sinh (\pi)}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n(\sinh (\pi))}{\pi (1+n^2)}(\cos (nx)-n\sin (nx))$
$f$ est discontinue en $\pi$. $\lim_{x\to \pi^-}f(x)=e^{\pi}$ et $\lim_{x\to \pi^+}f(x)=e^{-\pi}$ donc $f^*(\pi)=\cosh (\pi)$
$f^*(\pi)=\cosh (\pi)=\frac{\sinh \pi)}{\pi}[1+2\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{(-1)^n}{1+n^2}((-1)^n-0)]=\frac{\sinh \pi)}{\pi}(1+2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2})$
D'où on séduit $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{\tanh (\pi)}-1)$
La régularisée de $f$ est $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt))$
Soit : $\frac{\sinh (\pi)}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n(\sinh (\pi))}{\pi (1+n^2)}(\cos (nx)-n\sin (nx))$
$f$ est discontinue en $\pi$. $\lim_{x\to \pi^-}f(x)=e^{\pi}$ et $\lim_{x\to \pi^+}f(x)=e^{-\pi}$ donc $f^*(\pi)=\cosh (\pi)$
$f^*(\pi)=\cosh (\pi)=\frac{\sinh \pi)}{\pi}[1+2\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{(-1)^n}{1+n^2}((-1)^n-0)]=\frac{\sinh \pi)}{\pi}(1+2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2})$
D'où on séduit $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{\tanh (\pi)}-1)$
Re: Sujet Serie de Fourrier,Transforme de Laplace et Fourrie
Merci beaucoup de votre aide,pouvez vous m adez aussi pour l 'exo 2 svp?
Re: Sujet Serie de Fourrier,Transforme de Laplace et Fourrie
Bonjour
Exercice 2 a)
On décompose la fraction rationnelle $F(p)$ en éléments simples. J'ai obtenu :
$F(p)=\frac{1}{p} -\frac{1}{p+3}+\frac{2}{p^2}$
La transformée de Laplace est linéaire et en utilisant les tables :
$f(t)=1-e^{-3t}+2t$
$\lim_{t\to 0^+}f(t)=0$ et $\lim_{p\to \infty} pF(p)=\lim_{p\to +\infty}\frac{5}{p}=0$
Donc le théorème de la valeur initiale est vérifié.
b) Doit $Y$la transformée de Laplace de la fonction $y$
$Y'=pY-y(0)=pY-1$
$Y"=p^2Y -py(0)-y'(0)=p^2 Y -p-3$
On prend la transformée de Laplace de chaque membre de l'équation différentielle :
$p^2Y-p-3-5(pY-1)+4Y=\frac{4}{p^2}+\frac{3}{p}$ soit :
$(p^2-5p+4)Y-p+2=\frac{4}{p^2}+\frac{3}{p}$
$(p^2-5p+4)Y=\frac{p^3-2p^2+3p+4}{p^2}$
Donc $Y=\frac{p^3-2p^2+3p+4}{p^2(p-1)(p+4)}$
En décomposant la fraction rationnelle en éléments simples :
$Y=\frac{-2}{p-1} +\frac{1}{p-4} +\frac{2}{p} +\frac{1}{p^2}$
On obtient donc comme original : $y(t)=-2e^t+e^{4t} +2+t$
Vérification : $y'(t) =-2e^t+4e^{4t}+1$ et $y"(t)=-2e^t+16e^{4t}$
$y(0)=1$ et $y'(0)=3$
$y"-5y'+4y=(-2e^t +16e^{4t} +10e^t-20e^{4t}-5-8e^t+4e^{4t} +8+4t=4t+3$
Exercice 2 a)
On décompose la fraction rationnelle $F(p)$ en éléments simples. J'ai obtenu :
$F(p)=\frac{1}{p} -\frac{1}{p+3}+\frac{2}{p^2}$
La transformée de Laplace est linéaire et en utilisant les tables :
$f(t)=1-e^{-3t}+2t$
$\lim_{t\to 0^+}f(t)=0$ et $\lim_{p\to \infty} pF(p)=\lim_{p\to +\infty}\frac{5}{p}=0$
Donc le théorème de la valeur initiale est vérifié.
b) Doit $Y$la transformée de Laplace de la fonction $y$
$Y'=pY-y(0)=pY-1$
$Y"=p^2Y -py(0)-y'(0)=p^2 Y -p-3$
On prend la transformée de Laplace de chaque membre de l'équation différentielle :
$p^2Y-p-3-5(pY-1)+4Y=\frac{4}{p^2}+\frac{3}{p}$ soit :
$(p^2-5p+4)Y-p+2=\frac{4}{p^2}+\frac{3}{p}$
$(p^2-5p+4)Y=\frac{p^3-2p^2+3p+4}{p^2}$
Donc $Y=\frac{p^3-2p^2+3p+4}{p^2(p-1)(p+4)}$
En décomposant la fraction rationnelle en éléments simples :
$Y=\frac{-2}{p-1} +\frac{1}{p-4} +\frac{2}{p} +\frac{1}{p^2}$
On obtient donc comme original : $y(t)=-2e^t+e^{4t} +2+t$
Vérification : $y'(t) =-2e^t+4e^{4t}+1$ et $y"(t)=-2e^t+16e^{4t}$
$y(0)=1$ et $y'(0)=3$
$y"-5y'+4y=(-2e^t +16e^{4t} +10e^t-20e^{4t}-5-8e^t+4e^{4t} +8+4t=4t+3$