Sujet Serie de Fourrier,Transforme de Laplace et Fourrier

[akhenaton]

Bonjour

je suis bloque sur un sujet de maths niveau licence 3, je vous mets donc à disposition le sujet sur lequel je bloque actuellement en espérant obtenir un maximum de réponse afin de pouvoir mieux comprendre les notions qui me posent problème.

Merci beaucoup

[Job]

Bonjour

Exercice 1
La fonction est continue, définie en 0.
En $+\infty,\ e^{2t}>t^4$ donc $\frac{t^2+3}{e^{2t}}< \frac{t^2+3}{t^4}\sim\frac{1}{t^2}$ qui est intégrable en $+\infty$ donc l'intégrale $I$ converge.
Avec une intégration par parties :
$\int_0^x (t^2+3)e^{-2t}dt=\left[-\frac{1}{2} e^{-2t} (t^2+3)\right]_0^x +\int_0^x te^{-2t}dt=-\frac{1}{2} e^{-2x}(x^2+3) +\frac{3}{2}+\int_0^x te^{-2t} dt$
Avec une nouvelle intégration par parties, on obtient
$-\frac{1}{2} e^{-2x}(x^2+3) +\frac{3}{2}+\left[-\frac{1}{2} t e^{-2t}\right]_0^x +\frac{1}{2} \int_0^x e^{-2t} dt =-\frac{1}{2} e^{-2x}(x^2+3) +\frac{3}{2}-\frac{1}{2} xe^{-2x}-\frac{1}{4} e^{-2x} +\frac{1}{4}$
$\lim_{x\to +\infty} (-\frac{1}{2} e^{-2x}(x^2+3)) =\lim_{x\to +\infty} (-\frac{1}{2} xe^{-2x})=\lim_{x\to +\infty}(-\frac{1}{4} e^{-2x}) =0$ Donc $I=\frac{3}{2} +\frac{1}{4} =\frac{7}{4}$

[akhenaton]

Merci beaucoup,je me suis trompe de piece jointe mais avais aussi un doute sur le premier exo de cettte piece oint,je retrouve bien le meme resultat merci