Urgent à rendre avant Jeudi

[Julien_]

Bonjour,

J'ai effectuer déjà des essais au brouillon mais j'ai du mal pour ces exercices pourrais-je avoir une correction .

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Cordialement,

P.S: Présent aussi sur carremaths

[Job]

Bonjour

Exercice 7
1) : $\sigma_1\circ \sigma 3=\left(\begin{matrix}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{matrix}\right)$ ; $\sigma_1\circ \sigma_2=\sigma_2\circ \sigma_1 =\left(\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{matrix}\right)$

2) a) $\sigma_1^2=\sigma_2^2 =(\sigma_1\circ \sigma_2)^2=Id$
$\sigma_1\circ (\sigma_1\circ \sigma_2)=(\sigma_1\circ \sigma_2)\circ \sigma_1=\sigma_2$
$\sigma_2\circ (\sigma_1\circ \sigma_2)=(\sigma_1\circ \sigma_2)\circ \sigma_2=\sigma_1$

b) La loi est interne. $Id$ est élément neutre et chaque élément possède un symétrique : lui-même.

3) $\sigma_1$ et $\sigma_2$ dont d'ordre 2 puisque $\sigma_1^2=\sigma_2^2 =Id$

4) $(E, \circ)$ n'est pas un groupe cyclique car il n'existe aucun élément d'ordre 4. Tous les éléments différents de l'identité sont d'ordre 2.

[Job]

Exercice 8
1) Soit $\bar x$ et $\bar y$, 2 éléments de ${\mathbb Z}/256 {\mathbb Z}$
$f(\bar x +\bar y)=8(\bar x +\bar y)=8\bar x +8\bar y=f(\bar x) +f(\bar y)$ donc $f$ est un morphisme de groupes.

2) Soit $\bar x$ et $\bar y$, 2 éléments de $H$
$8(\bar x +\bar y)=8\bar x +8\bar y=\bar 0 +\bar 0=\bar 0$ donc $\bar x +\bar y \in H$
$\bar 0$ est élément neutre pour $H$
Si $\bar y$ est l'opposé de $\bar x$ dans ${\mathbb Z}/256 {\mathbb Z}$ alors $8\bar x +8\bar y =8(\bar x +\bar y)=\bar 0$ donc $\bar y$ est l'opposé de $\bar x$ dans $H$.

3) Soit $\bar x \in H$ et $\bar x \neq \bar 0$
$8(n\bar x)=n(8\bar x)=\bar 0$ donc $n\bar x\in H$. $(H,+)$ est donc un groupe cyclique.
$8\times 32=256$ donc $8(\bar{32})=\bar 0$ donc $\bar{32}$ est un générateur de $H$.

4) Le morphisme $f$ n'est pas injectif. Tous les éléments de $H$ ont la même image donc on ne peut pas déchiffrer une photo chiffrée par le morphisme $f$.

[Job]

Exercice 9
1) Les inversibles de ${\mathbb Z}/34{\mathbb Z}$ sont les classes des nombres premiers avec 34 donc des nombres impairs sauf 17 soit les classes de {1,3,5,7,9,11,13,15,19,21,23,25,27,29,31,33}

2) Il s'agit de trouver l'inverse de 7 donc soit on utilise l'algorithme d'Euclide soit directement puisque on a 7 x 5 = 35 = 1 + 34 donc $\bar 7\times \bar 5=\bar 1$.

Exercice 10 1)
(1) Modulo 23, 2 a pour inverse 12 donc $24 x \equiv 84\ [23]$ soit $x\equiv 15\ [23]$ donc $x=15+23 a\ (a\in {\mathbb Z})$
En remplaçant dans la seconde équation : $15+23 a \equiv -1\ [11]$ soit $a\equiv -16\ [11]\equiv 6\ [11]$
Donc $a=6+11k$ et $x=15+23(6+11k)=153+253 k\ (k\in {\mathbb Z})$

(2) On détermine l'inverse de 16 modulo 7 par l'algorithme d'Euclide :
$1=7-(3\times 2) =7-3(16-2\times 7)=7\times 7 -3\times 16$
Donc modulo 7, 16 a pour inverse (-3) ou encore 4.
On multiplie la seconde équation par 4 : $64 x\equiv 24\ [7]$ soit $x\equiv 3\ [7]$ donc $x=3+7a\ (a\in {\mathbb Z})$
On remplace dans la première équation :
$15+35a\equiv 4\ [8]$ soit $3a\equiv -11\ [8]\equiv -3\ [8]$ donc $a\equiv -1\ [8]$
Donc $a=-1+8k$ et $x=3+7(-1+8k)=-4+56 k\ (k\in {\mathbb Z})$.

(3) On reprend le résultat précédent de la seconde équation et on remplace dans la première.
$35 a =-11\ [6]$ soit $-a=-5\ [6]=1\ å6]$ ou $a=-1\ [6]$
$a=-1+6k$ et $x=3+7(-1+6k)=-4+42k\ (k\in {\mathbb Z})$

(4) $5x\equiv 19\ [2]$ équivaut à $x\equiv 1\ [2]$ soit $x=1+2a$
En remplaçant dans la seconde équation :
$3+6a\equiv 8\ [11]$ soit $6a \equiv 5\ [11]$
Modulo 11, 6 a pour inverse 2 donc $12a \equiv 10 [11]$ ou $a\equiv 10\ [11]$
$a=10+11k$ donc $x=21+22k \ (k\in {\mathbb Z})$

2) L'équation équivaut à $(x-1)(x+1)=0\ [35]$
Donc à priori 4 possibilités.
a) $x-1\equiv 0\ [35]$ soit $x=1+35 k\ (k\in {\mathbb Z})$
b) $x+1\equiv 0\ [35]$ soit $x=-1+35 k\ (k\in {\mathbb Z})$
c) $\left\{\begin{array}{rcl}x-1\equiv 5\ [35]\\ x+1\equiv 7\ [35]\end{array}\right.$
ce qui équivaut à $x=6+35 k\ (k\in {\mathbb Z})$
d) $\left\{\begin{array}{rcl}x-1\equiv 7\ [35]\\ x+1\equiv 5\ [35]\end{array}\right.$
La première équation équivaut à $x=8+35 a\ (a\in {\mathbb Z})$
En remplaçant dans la seconde $9+35a \equiv 5\ [35]$ soit $35 a\equiv -4\ [35]$ ce qui est impossible.

[Julien_]

Merci beaucoup