ensemble

[syne1]

Bonjour, je voudrais de l'aide pour exercices.
MERCI D'AVANCE

[Job]

Bonjour

Exercice 1
Soit 2 points $A$ et $B$ appartenant à $E\cap F$
$A$ et $B$ appartient à $E$ convexe donc $[AB]\subset E$.
De même $A$ et $B$ appartient à $F$ convexe donc $[AB]\subset F$.
Par conséquent $[AB] \subset E\cap F$ donc $E\cap F$ est convexe.

Exercice 2
Remarque préalable : On a toujours $A\Delta (B\cup C)\subset (A\Delta B)\cup (A\Delta C)$
Démonstration : Soit $x\in A\Delta (B\cup C)$.
2 possibilités : a) $x\in A$ et $x\notin B\cup C$ donc $x$ n'appartient ni à $B$ ni à $C$. Par conséquent $x\in A\Delta B$ et $x\in A\Delta C$ d'où $x\in (A\Delta B)\cup (A\Delta C)$
b) $x\notin A$ et $x\in B\cup C$ alors $x\in B$ ou $x\in C$ d'où $x\in A\Delta B$ ou $x\in A\Delta C$ donc $x$ appartient à leur
réunion.
Par conséquent il suffit donc de démontrer que $A\cap B=A\cap C \Longleftrightarrow (A\Delta B)\cup (A\Delta C)\subset A\Delta (B\cup C)$

1) Soit par hypothèse $A\cap B =A\cap C$.
Soit $x\in (A\Delta B)\cup (A\Delta C)$
Si $x\in A$ alors $x\notin B$ et $x\notin C$ donc $x\notin B\cup C$ donc $x\in A\Delta (B\cup C)$
Si $x\notin A$ alors $x\in B$ ou $x\in C$ donc $x\in B\cup C$ d'où $x\in A\Delta (B\cup C)$

2) Soit par hypothèse : $(A\Delta B)\cup (A\Delta C)\subset A\Delta (B\cup C)$
Supposons $A\cap B \neq A\cap C$
Donc il existe par exemple $x\in A,\ x\in B,\ x\notin C$
$x\in A\Delta C$ donc $x\in (A\Delta B)\cup (A\Delta C)$
Mais $ x\in (B\cup C)$ par conséquent puisqu'on a aussi $x\in A$ alors $x\notin A\Delta (B\cup C)$ d'où la contradiction avec l'hypothèse et par conséquent $A\cap B =A\cap C$