Bonjour!
Pourquoi peut-on dire que la forme quadratique Q(x,y,z)=x²+4xy+2yz est de signature (2,1)?
Forme quadratique
Re: Forme quadratique
Bonjour
On utilise la décomposition de Gauss.
$x^2+4xy=(x+2y)^2-4y^2$
$Q(x,y,z)=(x+2y)^2-(4y^2-2yz)=(x+2y)^2-[(2y-\frac{1}{2}z)^2-\frac{1}{4}z^2]$
$Q(x,y,z)=(x+2y)^2+\frac{1}{4}z^2-(2y-\frac{1}{2}z)^2$
Donc 2 carrés précédés d'un signe + et 1 carré précédé d'un signe -. D'où la signature (2,1).
On utilise la décomposition de Gauss.
$x^2+4xy=(x+2y)^2-4y^2$
$Q(x,y,z)=(x+2y)^2-(4y^2-2yz)=(x+2y)^2-[(2y-\frac{1}{2}z)^2-\frac{1}{4}z^2]$
$Q(x,y,z)=(x+2y)^2+\frac{1}{4}z^2-(2y-\frac{1}{2}z)^2$
Donc 2 carrés précédés d'un signe + et 1 carré précédé d'un signe -. D'où la signature (2,1).
Re: Forme quadratique
OK, merci....
Mais je n'ai pas bien compris la définition de la signature ...
Mais je n'ai pas bien compris la définition de la signature ...
Re: Forme quadratique
Dans une base $(e_1,\cdots , e_n)$ de $E$ orthogonale pour $q$, de signature $(s,t)$, $s$ est le nombre de vecteurs $e_i$ pour lesquels $q(e_i)>0$ et $t$ le nombre de vecteurs $e_i$ pour lesquels $q(e_i)<0$
La décomposition de Gauss est une méthode algorithmique permettant de déterminer la signature.
La décomposition de Gauss est une méthode algorithmique permettant de déterminer la signature.