Bonjour
Exercice 1
1) 6711=3 x 2237 (2237 premier) et 831 = 3 x 277 (277 premier) donc le pgcd=3.
On utilise la méthode de Bachet-Bezout par divisions successives à partir de nombres 2237 et 277.
2237 = 8 x 277 +21
277 = 13 x 21 + 4
21 = 5 x 4 +1
Et on remonte.
1 = 21 - 5 x 4
1 = 21 - 5 (277 - 13 x 21) = -5 x 277 + 66 x 21
1 = -5 x 277 +66(2237 - 8 x 277) = 66 x 2237 + (-533) x 277
Il reste à multiplier par le pgcd : 3 = 66 x 6711 +(-533) x 831
2) Même méthode. On peut travailler dans ${\mathbb Z}$ et passer ensuite à ${\mathbb Z}_2$
$x^6+x^4+x^2+x+1=(x^3+x)x^3 +x^2+x+1$
$x^3=x(x^2+x+1)+(-x^2-x)$
$x^2+x+1=-1(-x^2-x)+1$
On remonte.
$1=(x^2+x+1)+1(-x^2-x)$
$1=(x^2+x+1) +1[x^3-x(x^2+x+1)]=1(x^3)+(1-x)(x^2+x+1)$
$1=x^3+(1-x)[(x^6+x^4+x^2+x+1)-x^3(x^3+x)]=(1-x)(x^6+x^4+x^2+x+1)+(1-x+x^2-x^3+x^4)x^3$
Dans ${\mathbb Z}_2\ ,\ -1\equiv 1$ donc on a : $(1+x)(x^6+x^4+x^2+x+1) + (1+x+x^2+x^3+x^4)x^3$
anneau, arithmétique
Re: anneau, arithmétique
Exercice 2
Tout l'exercice se fait en passant aux modules des complexes qui eux appartiennent à ${\mathbb Z}^+$
1) Soit $u$ et $v$ 2 éléments de l'anneau $A$
Si $u$ divise $v$ alors $\exists w \in A\ /\ v=uw$ donc $v\bar v =(uw) (\overline{uw})=(u\bar u)(w\bar w)$ donc $u\bar u$ divise $v\bar v$
Si $u$ divise 1 dans $A$ alors $u\bar u$ divise $1\bar 1=1$ or $u\bar u$ est un entier positif donc $u\bar u =1$
$u\bar u =a^2+3b^2$ et $a^2+3b^2=1\Longleftrightarrow |a|=1$ et $b=0$
L'ensemble des unités de $A$ est donc $\{1,-1\}$
2) Si $uv=4$ alors $(u\bar u)(v\bar v)=16$ donc $u\bar u \in \{1,2, 4, 8, 16\}$
* $u\bar u=1$ ne convient pas car on cherche un produit de nombres premiers.
* $u\bar u =16$ ne convient pas car alors c'est $v\bar v$ qui vaut 1
* $u\bar u=2$ alors on doit avoir $a^2+3b^2=2$ impossible dans $\mathbb Z$
* $u\bar u =8$ même chose car alors $v\bar v =2$
* $u\bar u =v\bar v=4$
Donc $4=(2)(2)=(1+i\sqrt 3)(1-i\sqrt 3)$
$a^2+3b^2=4\Longleftrightarrow (a,b)=(|2|,0)$ ou $(a,b)=(|1|,|1|)$
Donc $4=(2)(2)=(1+i\sqrt 3)(1-i\sqrt 3)$ (ou leurs opposés)
Tout l'exercice se fait en passant aux modules des complexes qui eux appartiennent à ${\mathbb Z}^+$
1) Soit $u$ et $v$ 2 éléments de l'anneau $A$
Si $u$ divise $v$ alors $\exists w \in A\ /\ v=uw$ donc $v\bar v =(uw) (\overline{uw})=(u\bar u)(w\bar w)$ donc $u\bar u$ divise $v\bar v$
Si $u$ divise 1 dans $A$ alors $u\bar u$ divise $1\bar 1=1$ or $u\bar u$ est un entier positif donc $u\bar u =1$
$u\bar u =a^2+3b^2$ et $a^2+3b^2=1\Longleftrightarrow |a|=1$ et $b=0$
L'ensemble des unités de $A$ est donc $\{1,-1\}$
2) Si $uv=4$ alors $(u\bar u)(v\bar v)=16$ donc $u\bar u \in \{1,2, 4, 8, 16\}$
* $u\bar u=1$ ne convient pas car on cherche un produit de nombres premiers.
* $u\bar u =16$ ne convient pas car alors c'est $v\bar v$ qui vaut 1
* $u\bar u=2$ alors on doit avoir $a^2+3b^2=2$ impossible dans $\mathbb Z$
* $u\bar u =8$ même chose car alors $v\bar v =2$
* $u\bar u =v\bar v=4$
Donc $4=(2)(2)=(1+i\sqrt 3)(1-i\sqrt 3)$
$a^2+3b^2=4\Longleftrightarrow (a,b)=(|2|,0)$ ou $(a,b)=(|1|,|1|)$
Donc $4=(2)(2)=(1+i\sqrt 3)(1-i\sqrt 3)$ (ou leurs opposés)
Re: anneau, arithmétique
Exercice 3
1) Si $a+bi$ divise 1 dans ${\mathbb Z}$ alors $a^2+b^2$ divise 1 dans ${\mathbb Z}$
Donc $U=\{1,-1,i,-i\}$
2) a) On montre que si $p$ est congru à 3 modulo 4, alors $p$ n'est pas somme de 2 carrés.
En effet, modulo 4, un carré est congru à 0 ou 1 donc la somme de 2 carrés est congrue à 0, 1 ou 2.
b) Soit $p$ premier dans $\mathbb Z$ et non somme de 2 carrés.
Supposons $p=uv$ avec $u$ et $v$ éléments de ${\mathbb Z}$
$p^2=p\bar p = (u\bar u)(v\bar v)$
$u=a+bi$ et $u\bar u =p\Longrightarrow a^2+b^2=p$ impossible car $p$ n'est pas somme de 2 carrés.
Donc nécessairement $u\bar u$ ou $v\bar v=1$ et par conséquent $u$ ou $v$ est une unité et $p$ est premier dans ${\mathbb Z}$.
1) Si $a+bi$ divise 1 dans ${\mathbb Z}$ alors $a^2+b^2$ divise 1 dans ${\mathbb Z}$
Donc $U=\{1,-1,i,-i\}$
2) a) On montre que si $p$ est congru à 3 modulo 4, alors $p$ n'est pas somme de 2 carrés.
En effet, modulo 4, un carré est congru à 0 ou 1 donc la somme de 2 carrés est congrue à 0, 1 ou 2.
b) Soit $p$ premier dans $\mathbb Z$ et non somme de 2 carrés.
Supposons $p=uv$ avec $u$ et $v$ éléments de ${\mathbb Z}$
$p^2=p\bar p = (u\bar u)(v\bar v)$
$u=a+bi$ et $u\bar u =p\Longrightarrow a^2+b^2=p$ impossible car $p$ n'est pas somme de 2 carrés.
Donc nécessairement $u\bar u$ ou $v\bar v=1$ et par conséquent $u$ ou $v$ est une unité et $p$ est premier dans ${\mathbb Z}$.