je Cherche une solution SVP

[nebrass]

1/Montrer que (p(E),∆,⋂) est un anneau commutatif et donner l'ensemble des elements inversibles de p(E)
2/Montrer que (z/nz,+,x) est un corps ssi n est premier

J'ai esseyé mais je n'ai pas pu pas trouver la reponse correcte avec raisonnement detaillé
ce que je connais ou bientot ce que j'ai appris
LCI / Groupe / sous groupe / Morphisme de groupe / anneau / sous anneau / Morphisme d'anneau / anneau integré / corps /division euclideienne / les relations binaires / theoreme de lagarange...
et merçi .d'avance.

[Job]

Bonjour

Exercice 1
$A\Delta B=(A\cap \bar B)\cup (\bar A \cap B$. La différence symétrique est donc une loi interne dans $P(E)$
La commutativité est évidente.
Associativité
$(A\Delta B)\Delta C=[(A\Delta B)\cap \bar C]\cup [(\overline {A\Delta B})\cap C]$

$(A\Delta B)\cap \bar C=(A\cap \bar B\cap \bar C)\cup (\bar A\cap B\cap \bar C)$

$\overline {A\Delta B}=\overline{(A\cap \bar B) \cup (\bar A \cap B)}=\overline {(A\cap \bar B)} \cap \overline{(\bar A \cap B)}$
$=(\bar A \cup B) \cap (A\cup \bar B)=[(\bar A \cup B)\cap A]\cup [(\bar A \cup B )\cap \bar B]$
$=(\bar A \cap A)\cup (B\cap A)\cup (\bar A \cap \bar B)\cup (B\cap \bar B)=(B\cap A)\cup (\bar A \cap \bar B)$

Donc $\overline {A\Delta B}\cup C=[(B\cap A)\cup (\bar A \cap \bar B)]\cap C=(B\cap A \cap C)\cup (\bar A\cap \bar B \cap C)$

En regroupant : $(A\Delta B)\Delta C=(A\cap \bar B\cap \bar C)\cup (\bar A\cap B\cap \bar C)\cup (B\cap A \cap C)\cup (\bar A\cap \bar B \cap C)$

On calcule de même $A\Delta (B\delta C)$ et on trouve le même résultat d'où l'associativité.

$\forall A\in P(E),\ A\Delta Ø= =(A\cap \overline Ø)\cup (\bar A \cap Ø) =(A\cap E)\cup Ø=A$ donc $Ø$ est élément neutre pour $\Delta$

$A\Delta A =(A\cap \bar A)\cup (\bar A \cap A)=Ø$ donc toute partie est son propre symétrique pour $\Delta$.

$(P(E), \Delta))$ est un groupe commutatif.

L'intersection est associative et commutative
$\forall A \in P(E), A\cap E =E\cap A =A$ donc $E$ est élément neutre pour l'intersection.

Distributivité de l'intersection sur la différence symétrique.
$A\cap (B\Delta C)=A\cap [(B\cap \bar C)\cup (\bar B \cap C)]=(A\cap B /cap \bar C)\cup (A\cap \bar B \cap C)$

$(A\cap B)\Delta (A\cap C)=[(A\cap B)\cap (\overline{A\cap C})]\cup [(\overline{A\cap B)})\cap (A\cap C)]$
$=[(A\cap B)\cap (\bar A \cup \bar C)]\cup [(\bar A \cup \bar B)\cap (A\cap C)]$
$=(A\cap B \cap \bar A)\cup (A\cap B \cap \bar C)\cup (\bar A \cap A \cap C)\cup (\bar B\cap A\cap C)=(A\cap B \cap \bar C)\cup (\bar B \cap A\cap C)$
L'égalité est vérifiée.

$(P(E),\Delta, \cap)$ est un anneau commutatif.

Une partie $A$ est inversible si il existe une partie $B$ telle que $A\cap B)=E$
La seule partie inversible pour l'intersection est donc $E$ qui est son propre inverse.

[Job]

Exercice 2

1) On commence par démontrer que $\bar x$ est inversible dans ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ si et seulement si $x$ et $n$ sont premiers entre eux.

a) Si $\bar x$ est inversible , il existe $\bar y\in {\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ tel que $\bar x \bar y=\bar 1$ soit $xy\equiv 1\ [n]$.
Donc $\exists q\in {\mathbb Z}\ /\ xy-1=qn$ soit $xy+(-q)n=1$ donc d'après le théorème de Bezout, $x$ et $n$ sont premiers entre eux.

b) Si $x$ et $n$ sont premiers entre eux, $\exists (u,v)\in {\mathbb Z}^2\ /\ xu+nv=1$ donc $\overline {xu+nv}=\bar 1$ soit $\bar x \bar u +\bar n \bar v =\bar 1$ mais $\bar n =0$ donc $\bar x \bar u=1$ donc $\bar x$ inversible.

2) a) Si ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ est un corps alors tout élément non nul de ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ est inversible. Par conséquent $\forall k \in{\mathbb N},\ 1\leq k\leq n-1$ est inversible donc d'après la démonstration précédente $k$ et $n$ sont premiers entre eux d'où on déduit que $n$ est premier.

b) Si $n$ est premier, $\forall k \in{\mathbb N},\ 1\leq k\leq n-1$, $k$ est premier avec $n$ donc $\bar k$ est inversible.
Tout élément non nul de ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ est donc inversible et par conséquent ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ est un corps.